Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число 3111.
а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна 221.
б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна 2001?
в) Найдите наименьшее нечётное число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.
а) Примером таких чисел являются числа 2916 и 3137.
б) Предположим, что такие числа существуют. Рассмотрим какие-либо два таких интересных числа. Пусть 
— десятичная запись большего из них, 
— десятичная запись меньшего из них, а k — та из цифр a, b, c и d, которая равна сумме трёх других. Тогда сумма цифр этого числа равна 2k, то есть чётна. Аналогично получаем, что сумма цифр меньшего из рассматриваемых интересных чисел также чётна. Так как 
имеем 
отсюда получаем 
Так как оба числа четырёхзначные, 
значит, числа 
и 
разной чётности. Приходим к противоречию.
в) Покажем, что искомое число равно 11. Для этого сначала приведём пример интересного четырёхзначного числа, кратного 3, 5, 7 и 9, — это число 9135.
Пусть — десятичная запись какого-либо интересного числа, кратного 11. Тогда
Получаем, что число 
кратно 11. Поскольку a, b, c и d — цифры, отсюда следует, что либо 
либо эти две суммы отличаются на 11. Составим две пары чисел: a и c, b и d. Пусть k — та из цифр a, b, c и d, которая равна сумме трёх других, l — та из них, которая в паре с k. Пусть также m и n — две оставшиеся из цифр a, b, c и d. Поскольку 
имеем 
Значит, 
Вычитая из этого равенства равенство 
получаем 
и, следовательно, 
Пришли к противоречию. Значит, не существует интересных четырёхзначных чисел, кратных 11.
Ответ: а) 2916 и 3137; б) нет; в) 11.