а)  Пусть окруж­ность с цен­тром O₁ ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вой сто­ро­ны KL в точке C. Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му LO и LO₁  — бис­сек­три­сы смеж­ных углов KLM и CLM. Сле­до­ва­тель­но, ∠OLO₁  =  90°.

б)  Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки KBO и KAL по­доб­ны, по­это­му

Зна­чит,

Пусть ра­ди­ус окруж­но­сти с цен­тром O₁ равен r₁. Тре­уголь­ник KLM

рав­но­бед­рен­ный, по­это­му окруж­но­сти с цен­тра­ми O и O₁ ка­са­ют­ся ос­но­ва­ния ML в одной и той же точке A. Зна­чит, точка A лежит на от­рез­ке OO₁, причём LA  — вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OLO₁, про­ведённая из вер­ши­ны пря­мо­го угла. Сле­до­ва­тель­но,

а)  Пусть окруж­ность с цен­тром O₁ ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вой сто­ро­ны KL в точке C. Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му LO и LO₁  — бис­сек­три­сы смеж­ных углов KLM и CLM. Сле­до­ва­тель­но, ∠OLO₁  =  90°.

б)  Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки KBO и KAL по­доб­ны, по­это­му

Зна­чит,

Пусть ра­ди­ус окруж­но­сти с цен­тром O₁ равен r₁. Тре­уголь­ник KLM

рав­но­бед­рен­ный, по­это­му окруж­но­сти с цен­тра­ми O и O₁ ка­са­ют­ся ос­но­ва­ния ML в одной и той же точке A. Зна­чит, точка A лежит на от­рез­ке OO₁, причём LA  — вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OLO₁, про­ведённая из вер­ши­ны пря­мо­го угла. Сле­до­ва­тель­но,