СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 513349

Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM, касается боковой стороны KL в точке B, а основания ML — в точке A. Вторая окружность с центром O1 касается основания ML и продолжений боковых сторон.

а) Докажите, что треугольник OLO1 прямоугольный.

б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и AK = 16.

Решение.

а) Пусть окружность с центром O1 касается продолжения боковой стороны KL в точке C. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому LO и LO1 — биссектрисы смежных углов KLM и CLM. Следовательно, ∠OLO1 = 90°.

б) Прямоугольные треугольники KBO и KAL подобны, поэтому

Значит,

Пусть радиус окружности с центром O1 равен r1. Треугольник KLM

равнобедренный, поэтому окружности с центрами O и O1 касаются основания ML в одной и той же точке A. Значит, точка A лежит на отрезке OO1, причём LA — высота прямоугольного треугольника OLO1, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно,

Ответ: б) 24.

Аналоги к заданию № 513349: 513368 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности, Окружности и системы окружностей, Окружности и системы окружностей, Окружности и треугольники, Окружности и треугольники, Свойства биссектрис
Спрятать решение · ·
Виолетта 15.03.2017 09:52

Можно рассмотреть подобные треугольники и

Тогда