PDF-версии: 
Дан куб ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что прямая BD1 перпендикулярна плоскости ACB1.
б) Найдите угол между плоскостями AD1C1 и A1D1C.
Решение. а) Поскольку проекция прямой
на плоскость ABCD — прямая 
то и 
Аналогично 
(надо рассмотреть плоскость 
). Значит, перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости 
поэтому 
б) Будем считать, что ребро куба имеет длину 1. Очевидно, в обеих плоскостях лежит точка B, поэтому прямая пересечения у этих плоскостей 
Опустим на нее перпендикуляры из точек A и C (они упадут в одну точку из-за равенства треугольников 
и 
) Пусть их основание — точка H. Рассмотрим треугольник ACH. В нем 
Напишем теперь теорему косинусов для треугольника ACH.
откуда
а угол между плоскостями — 
Ответ:
Примечание.
Решение задачи методом координат приведено в комментариях.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
на плоскость 
— прямая 
то и 
Аналогично
(надо рассмотреть плоскость 
поэтому 
Опустим на нее перпендикуляры из точек A и C (они упадут в одну точку из-за равенства треугольников 
и 
) Пусть их основание — точка H. Рассмотрим треугольник ACH. В нем 