Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Запишем систему в виде
При а = −1 имеем систему
Эта система решений не имеет. Следовательно, а = −1 не удовлетворяет условию задачи.
При а = −2 имеем систему
Эта система тоже решений не имеет. Следовательно, и а = −2 не удовлетворяет условию задачи.
Если а ≠ −1, а ≠ −2 , то каждое уравнение системы есть уравнение окружности. В этом случае система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда расстояние между центрами этих окружностей равно сумме или разности их радиусов.
Пусть а ≠ −1, а ≠ −2. Расстояние O1O2 между центрами O1(a, −2a) и O2(−2a, 2a) равно 
а радиусы 
и 
Решим два уравнения: (1) 
и (2) 
Уравнение (1) имеет вид 
уравнение (2) имеет вид 
Решением уравнения (1) являются числа 1 и 
Решением уравнения (2) являются числа 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все значения a, но ответ содержит лишнее значение. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены одно или несколько значений a | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения корней квадратичной функции (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
не имеет решений.
Запишем систему в виде
Если а ≠ 1, а ≠ 2 , то каждое уравнение системы есть уравнение окружности. В этом случае система не имеет решений тогда и только тогда, когда расстояние между центрами этих окружностей больше суммы или меньше разности их радиусов. При а = 1 имеем систему
Эта система решений не имеет. Следовательно, а = 1 удовлетворяет условию задачи. При а = 2 имеем систему
Эта система тоже решений не имеет. Следовательно, и а = 2 удовлетворяет условию задачи. Пусть а ≠ 1, а ≠ 2. Расстояние O1O2 между центрами 
и 
равно а радиусы 
и 
Решим два неравенства: (1) 
и (2) 
Неравенство (1) имеет вид 
неравенство (2) имеет вид 
Решением неравенства (1) являются промежутки 
и 
Решением неравенства (2) является промежуток 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все значения a, но ответ содержит лишнее значение. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены одно или несколько значений a | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения корней квадратичной функции (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх