РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15=4|2x минус y минус 10|,x плюс 2y=a конец системы .$

имеет более двух решений.

Решение. Преобразуем первое уравнение системы:

$x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15=4|2x минус y минус 10| равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15=4 левая круглая скобка 2x минус y минус 10 правая круглая скобка ,2x минус y минус 10 больше или равно 0, конец системы . система выражений x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15= минус 4 левая круглая скобка 2x минус y минус 10 правая круглая скобка ,2x минус y минус 10 меньше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно$ $x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15=4|2x минус y минус 10| равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15=4 левая круглая скобка 2x минус y минус 10 правая круглая скобка ,2x минус y минус 10 больше или равно 0, конец системы . система выражений x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 4y плюс 15= минус 4 левая круглая скобка 2x минус y минус 10 правая круглая скобка ,2x минус y минус 10 меньше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате минус 16x плюс y в квадрате плюс 8y плюс 55=0, y меньше или равно 2x минус 10, конец системы . система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =25,y больше 2x минус 10 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка в квадрате =25, y меньше или равно 2x минус 10, конец системы . система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =25,y больше 2x минус 10. конец системы . конец совокупности .$

Тем самым, первое уравнение задаёт объединение дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ окружностей радиуса $5$ с центрами в точках $O_1 левая круглая скобка 8; минус 4 правая круглая скобка$ и $O_2 левая круглая скобка 0;0 правая круглая скобка ,$ лежащих ниже и выше прямой $y=2x минус 10$ соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках $A левая круглая скобка 5;0 правая круглая скобка$ и $B левая круглая скобка 3; минус 4 правая круглая скобка .$ Заметим, что точка касания $C левая круглая скобка корень из 5 ;2 корень из 5 правая круглая скобка$ лежит на дуге $\omega_2$ и прямая $O_2C$ перпендикулярна прямой $O_1O_2,$ поскольку произведение угловых коэффициентов данных прямых равно −1.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой $O_1O_2$ или совпадающую с ней.

При $a=5$ прямая m пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.

Аналогично, при $a= минус 5$ прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.

При $a = 5 корень из 5$ прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг $\omega_1$ и $\omega_2,$ то есть исходная система имеет два решения.

Аналогично, при $a= минус 5 корень из 5$ прямая m касается дуг $\omega_1$ и $\omega_2,$ то есть исходная система имеет два решения.

При $минус 5 корень из 5 меньше a меньше минус 5$ или $5 меньше a меньше 5 корень из 5$ прямая m пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.

При $минус 5 меньше a меньше 5$ прямая m пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в точке, отличной от точек A и B, то есть исходная система имеет два решения.

При $a меньше минус 5 корень из 5$ или $a больше 5 корень из 5$ прямая m не пересекает дуги $\omega_1$ и $\omega_2,$ то есть исходная система не имеет решений.

Значит, исходная система имеет более двух решений при $минус 5 корень из 5 меньше a\leqslant минус 5$ или $5 меньше или равно a меньше 5 корень из 5 .$

Ответ: $минус 5 корень из 5 меньше a\leqslant минус 5;5 меньше или равно a меньше 5 корень из 5 .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек a = −5 и/или a = 5.	3
При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля.	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в квадрате минус 2x плюс y в квадрате минус 4y=2|x плюс 2y минус 5|,2x минус y=a конец системы .$

имеет более двух решений.

Решение. Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1)  Если x + 2y − 5 ≥ 0, то получаем уравнение

$x в квадрате минус 2x плюс y в квадрате минус 4y=2x плюс 4y минус 10 равносильно$

$равносильно x в квадрате минус 4x плюс y в квадрате минус 8y плюс 10 = 0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка в квадрате =10.$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O₁(2; 4) и радиусом $корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

2)  Если x + 2y − 5 ≤ 0, то получаем уравнение

$x в квадрате минус 2x плюс y в квадрате минус 4y=10 минус 2x минус 4y равносильно x в квадрате плюс y в квадрате =10.$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом $корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Полученные окружности пересекаются в двух точках A(−1; 3) и B(3; 1), лежащих на прямой x + 2y − 5  =  0, поэтому в первом случае получаем дугу ω₁ с концами в точках A и B, во втором  — дугу ω₂ с концами в тех же точках (см. рис.).

Заметим, что точка $C левая круглая скобка 2 корень из 2 ; минус корень из 2 правая круглая скобка$ лежит на дуге ω₂ и прямая OC перпендикулярна прямой O₁O, поскольку произведение угловых коэффициентов данных прямых равно −1.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой O₁O или совпадающую с ней.

При a = −5 прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.

Аналогично, при a = 5 прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.

При $a = минус 5 корень из 2$ прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг ω₂ и ω₁, то есть исходная система имеет два решения.

Аналогично, при $a=5 корень из 2$ прямая m касается дуг ω₂ и ω₁, то есть исходная система имеет два решения.

При $минус 5 корень из 2 меньше a меньше минус 5$ или $5 меньше a меньше 5 корень из 2$ прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.

При −5 < a < 5 прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в точке, отличной от точек A и B, то есть исходная система имеет два решения.

При $a меньше минус 5 корень из 2$ или $a больше 5 корень из 2$ прямая m не пересекает дуги ω₁ и ω₂, то есть исходная система не имеет решений.

Значит, исходная система имеет более двух решений при $минус 5 корень из 2 меньше a\leqslant минус 5$ или $5 меньше или равно a меньше 5 корень из 2 .$

Ответ: $минус 5 корень из 2 меньше a\leqslant минус 5,5 меньше или равно a меньше 5 корень из 2 .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек a = −5 и/или a = 5.	3
При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля.	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в квадрате плюс 5x плюс y в квадрате минус y минус |x минус 5y плюс 5|=52,y минус 2=a левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка . конец системы .$

имеет ровно два решения.

Рассмотрим два случая:

1)  Если $x минус 5y плюс 5\geqslant0,$ то получаем уравнение

$x в квадрате плюс 5x плюс y в квадрате минус y минус x плюс 5y минус 5=52 равносильно x в квадрате плюс 4x плюс y в квадрате плюс 4y минус 57=0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка в квадрате =65.$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке $O_1 левая круглая скобка минус 2; минус 2 правая круглая скобка$ и радиусом $корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента .$

2)  Если $x минус 5y плюс 5\leqslant0,$ то получаем уравнение

$x в квадрате плюс 5x плюс y в квадрате минус y плюс x минус 5y плюс 5=52 равносильно x в квадрате плюс 6x плюс y в квадрате минус 6y минус 47=0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка в квадрате =65.$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке $O_2 левая круглая скобка минус 3;3 правая круглая скобка$ и радиусом $корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента .$

Полученные окружности пересекаются в двух точках $A левая круглая скобка минус 10; минус 1 правая круглая скобка$ и $B левая круглая скобка 5;2 правая круглая скобка ,$ лежащих на прямой $x минус 5y плюс 5=0,$ поэтому в первом случае получаем дугу $\omega_1$ с концами в точках A и B, во втором  — дугу $\omega_2$ с концами в тех же точках (см. рис.).

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, которая проходит через точку B и угловой коэффициент которой равен a.

При $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби$ прямая m проходит через точки A и B, то есть исходная система имеет два решения.

При $a= минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби$ прямая m перпендикулярна прямой O₁B, угловой коэффициент которой равен $дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби ,$ значит, прямая m касается дуги $\omega_1$ в точке B и пересекает дугу $\omega_2$ в двух точках (одна из которых  — точка B), то есть исходная система имеет два решения.

При a  =  8 прямая m перпендикулярна прямой O₂B, угловой коэффициент которой равен $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ,$ значит, прямая m касается дуги $\omega_2$ в точке B и пересекает дугу $\omega_1$ в двух точках (одна из которых  — точка B), то есть исходная система имеет два решения.

При $a меньше минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби$ или $a больше 8$ прямая m пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в точке B и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.

При $минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби$ прямая m пересекает дугу $\omega_2$ в двух точках (одна из которых  — точка B) и не пересекает дугу $\omega_1$ в точках, отличных от точки B, то есть исходная система имеет два решения.

При $дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби меньше a меньше 8$ прямая m пересекает дугу $\omega_1$ в двух точках (одна из которых  — точка B) и не пересекает дугу $\omega_2$ в точках, отличных от точки B, то есть исходная система имеет два решения.

Значит, исходная система имеет ровно два решения при $минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a\leqslant8.$

Ответ: $минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a\leqslant8.$

№ п/п	№ задания	Ответ
1	510104	$минус 5 корень из 5 меньше a\leqslant минус 5;5 меньше или равно a меньше 5 корень из 5 .$
2	509973	$минус 5 корень из 2 меньше a\leqslant минус 5,5 меньше или равно a меньше 5 корень из 2 .$
3	513110	$минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a\leqslant8.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но в ответ включены также и одно-два неверных значения.	3
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра.	2
Задача верно сведена к исследованию совокупности трёх квадратных уравнений относительно a.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Ключ