Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны «число ис­пы­та­ний до пер­во­го успе­ха» в серии ис­пы­та­ний Бер­нул­ли с ве­ро­ят­но­стью успе­ха p рав­ня­ет­ся Ис­ко­мая слу­чай­ная ве­ли­чи­на яв­ля­ет­ся сум­мой слу­чай­ных ве­ли­чин «число куп­лен­ных кин­дер-сюр­при­зов до пер­во­го бе­ге­мо­та в кепке» и «число куп­лен­ных кин­дер-сюр­при­зов от пер­во­го до вто­ро­го бе­ге­мо­та в кепке». Бе­ге­мот в кепке по­па­да­ет­ся с ве­ро­ят­но­стью по­это­му ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние каж­дой из этих двух слу­чай­ных ве­ли­чин равно 12. Сле­до­ва­тель­но, в силу ли­ней­но­сти ис­ко­мое ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние равно 24.

Ответ: 24.

Более ин­ту­и­тив­ное объ­яс­не­ние: бе­ге­мот в кепке по­па­да­ет­ся в сред­нем один раз из 12 кин­дер-сюр­при­зов, сле­до­ва­тель­но, в сред­нем до по­яв­ле­ния пер­во­го бе­ге­мо­та в кепке по­тре­бу­ет­ся 12 кин­дер-сюр­при­зов, а после этого еще столь­ко же до по­яв­ле­ния вто­ро­го бе­ге­мо­та в кепке.

Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны «число ис­пы­та­ний до пер­во­го успе­ха» в серии ис­пы­та­ний Бер­нул­ли с ве­ро­ят­но­стью успе­ха p рав­ня­ет­ся Ис­ко­мая слу­чай­ная ве­ли­чи­на яв­ля­ет­ся сум­мой слу­чай­ных ве­ли­чин «число куп­лен­ных кин­дер-сюр­при­зов до пер­вой Зо­луш­ки» и «число куп­лен­ных кин­дер-сюр­при­зов от пер­вой до вто­рой Зо­луш­ки». Зо­луш­ка по­па­да­ет­ся с ве­ро­ят­но­стью по­это­му ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние каж­дой из этих двух слу­чай­ных ве­ли­чин равно 8. Сле­до­ва­тель­но, в силу ли­ней­но­сти ис­ко­мое ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние равно 16.

Ответ: 16.

Более ин­ту­и­тив­ное объ­яс­не­ние: Зо­луш­ка по­па­да­ет­ся в сред­нем один раз из 8 кин­дер-сюр­при­зов, сле­до­ва­тель­но, в сред­нем до по­яв­ле­ния пер­вой Зо­луш­ки по­тре­бу­ет­ся 8 кин­дер-сюр­при­зов, а после этого еще столь­ко же до по­яв­ле­ния вто­рой Зо­луш­ки.

Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны «число ис­пы­та­ний до пер­во­го успе­ха» в серии ис­пы­та­ний Бер­нул­ли с ве­ро­ят­но­стью успе­ха p рав­ня­ет­ся Ис­ко­мая слу­чай­ная ве­ли­чи­на яв­ля­ет­ся сум­мой слу­чай­ных ве­ли­чин «число куп­лен­ных кин­дер-сюр­при­зов до пер­во­го но­во­го ав­то­мо­би­ля», «число куп­лен­ных кин­дер-сюр­при­зов от пер­во­го до вто­ро­го но­во­го ав­то­мо­би­ля», ..., «число куп­лен­ных кин­дер-сюр­при­зов от пя­то­го до ше­сто­го но­во­го ав­то­мо­би­ля». Ве­ро­ят­ность успе­ха для пер­вой слу­чай­ной ве­ли­чин  — 1 (любой ав­то­мо­биль будет новым), для вто­рой  — (но­вы­ми будут толь­ко 5 из ав­то­мо­би­лей), ..., для по­след­ней  — Ма­те­ма­ти­че­ские ожи­да­ния со­от­вет­ствен­но равны 1, Сле­до­ва­тель­но, в силу ли­ней­но­сти ис­ко­мое ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние равно

Ответ: 14,7.

Более ин­ту­и­тив­ное объ­яс­не­ние: до пер­во­го ав­то­мо­би­ля в кол­лек­цию по­тре­бу­ет­ся ку­пить один кин­дер-сюр­приз, вто­рой новый ав­то­мо­биль те­перь «пря­чет­ся» в 5 из 6 кин­дер­сюр­при­зов или в одном из 1,2, по­это­му по­тре­бу­ет­ся ку­пить в сред­нем ещё 1,2 кин­дер-сюр­при­за, и так далее. По­след­ний ав­то­мо­биль встре­ча­ет­ся в сред­нем толь­ко в одном кин­дер сю­при­зе из 6, по­это­му в сред­нем после по­лу­че­ния пред­по­след­не­го ав­то­мо­би­ля при­дет­ся ку­пить ещё 6 кин­дер-сюр­при­зов.