Пусть x  — доля мощ­но­стей за­во­да, за­ня­тых под про­из­вод­ство блин­чи­ков с ягод­ной на­чин­кой, а y  — доля мощ­но­стей, за­ня­тых под про­из­вод­ство блин­чи­ков с тво­рож­ной на­чин­кой. Тогда x + y  =  1, при этом блин­чи­ков с ягод­ной на­чин­кой про­из­во­дит­ся 90x тонн, а с тво­рож­ной на­чин­кой  — 75y тонн. Кроме того, из усло­вия ас­сор­ти­мент­но­сти сле­ду­ет, что от­ку­да а от­ку­да При­быль за­во­да с одной тонны про­дук­ции с ягод­ной на­чин­кой равна 100 − 70  =  30 тыс. руб., при­быль с одной тонны про­дук­ции с тво­рож­ной на­чин­кой равна 135 − 100  =  35 тыс. руб., общая при­быль с про­из­ведённой за месяц про­дук­ции равна Таким об­ра­зом, нам не­об­хо­ди­мо найти наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции S (x, y)  =  75 · (36x + 35y) при вы­пол­не­нии сле­ду­ю­щих усло­вий:

Под­став­ляя у  =  1 − x в вы­ра­же­ние 36x + 35y, по­лу­ча­ем: 36x + 35(1 − x)  =  x + 35. Наи­боль­шее зна­че­ние этого вы­ра­же­ния при усло­вии до­сти­га­ет­ся при тогда

По­это­му мак­си­маль­но воз­мож­ная при­быль за­во­да за месяц равна:

при этом фаб­ри­ка про­из­во­дит 72 тонны блин­чи­ков с ягод­ной на­чин­кой и 15 тонн блин­чи­ков с тво­рож­ной на­чин­кой.

Ответ: 2685 тыс. руб.

При­ведём ре­ше­ние Дмит­рия Гу­щи­на.

Тонна блин­чи­ков с тво­рож­ной на­чин­кой при­но­сит 35 тыс. руб., а тонна блин­чи­ков с ягод­ной  — 30 тыс. руб. При этом 1 тонне блин­чи­ков с тво­рож­ной на­чин­кой со­от­вет­ству­ет 1,2 тонны блин­чи­ков с ягод­ной на­чин­кой. За­ме­тим, что 1 т · 35 тыс. руб.  <  1,2 т · 30 тыс. руб.  =  36 т · 1 тыс. руб., по­это­му более вы­год­но про­из­во­дить блин­чи­ки с ягод­ной на­чин­кой. Зна­чит, блин­чи­ков с тво­рож­ной на­чин­кой не­об­хо­ди­мо про­из­во­дить 15 тонн, а блин­чи­ков с ягод­ной на­чин­кой  — 90 − 15 · 1,2  =  72 тонны, что даст 15 · 35 + 72 · 30  =  2685 тыс. руб. при­бы­ли.

Пусть x  — доля мощ­но­стей за­во­да, за­ня­тых под про­из­вод­ство ком­по­тов в стек­лян­ной таре, а y  — доля мощ­но­стей, за­ня­тых под про­из­вод­ство ком­по­тов в же­стя­ной банке. Тогда при этом ком­по­тов в стек­лян­ной таре про­из­во­дит­ся 90x цент­не­ров, а в же­стя­ной таре  — 80y цент­не­ров. При­быль за­во­да с 1 цент­не­ра про­дук­ции в стек­лян­ной таре равна при­быль с 1 цент­не­ра в же­стя­ной таре равна а общая при­быль с про­из­ведённой за день про­дук­ции равна

Кроме того, из усло­вия ас­сор­ти­мент­но­сти сле­ду­ет, что и то есть и Таким об­ра­зом, в пе­ре­во­де на ма­те­ма­ти­че­ский язык, нам не­об­хо­ди­мо найти наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния при вы­пол­не­нии сле­ду­ю­щих усло­вий:

Под­став­ляя в вы­ра­же­ние по­лу­ча­ем: Это вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при и, сле­до­ва­тель­но, По­это­му мак­си­маль­но воз­мож­ная при­быль за­во­да за день равна

Ответ: 53 500 руб.