Ко­ман­да А уже обыг­ра­ла три ко­ман­ды, по­это­му, если рас­ста­вить их по силе в по­ряд­ке воз­рас­та­ния, по­лу­чит­ся

где П  — про­иг­рав­шая ко­ман­да. Сле­ду­ю­щий со­пер­ник может рас­по­ла­гать­ся на одном из пяти рав­но­ве­ро­ят­ных мест:

Из этих пяти по­ло­же­ний че­ты­ре на­хо­дят­ся слева от А, и в этих слу­ча­ях ко­ман­да А по­бе­дит, а одно спра­ва, при этом ко­ман­да А про­иг­ра­ет. Зна­чит, ве­ро­ят­ность по­бе­ды ко­ман­ды А в четвёртом ра­ун­де равна

Ответ: 0,8.

Решим за­да­чу в общем виде.

Преды­ду­щее ре­ше­ние было при­сла­но нам Дмит­ри­ем Ка­зан­це­вым. Ниже мы обоб­щим его на слу­чай про­из­воль­но­го числа ко­манд и вы­иг­ран­ных пар­тий.

Упо­ря­до­чим по силе в по­ряд­ке воз­рас­та­ния ко­ман­ду А и k про­иг­рав­ших ко­манд  П. Для сле­ду­ю­щей ко­ман­ды есть k + 2 рав­но­ве­ро­ят­ных места, из них k + 1 место, где она сла­бее А.

По­это­му ве­ро­ят­ность вы­иг­рать в сле­ду­ю­щем ра­ун­де равна а ве­ро­ят­ность про­иг­рать равна Эти ве­ро­ят­но­сти за­ви­сят лишь от ко­ли­че­ства вы­иг­ран­ных ранее пар­тий и не за­ви­сит от об­ще­го числа ко­манд.

Дру­гое до­ка­за­тель­ство при­ве­де­но в ра­бо­те И. В. Яко­вле­ва ЕГЭ-вик­то­ри­на.

При­ве­дем ре­ше­ние Дмит­рия Су­за­на.

Обо­зна­чим ко­ман­ды А, Б, В, Г, Д, Е, и пусть Б, В, Г  — уже про­иг­рав­шие ко­ман­ды. От­сор­ти­ру­ем ко­ман­ды по воз­рас­та­нию силы слева на­пра­во. Тогда ко­ман­ды Б, В, Г точно на­хо­дят­ся слева от А, но не­яс­но, в каком по­ряд­ке по от­но­ше­нию друг к другу. Ко­ман­ды Д и Е могут на­хо­дить­ся как левее, так и пра­вее ко­ман­ды А.

Най­дем ко­ли­че­ство воз­мож­ных пе­ре­ста­но­вок ко­манд: ко­ман­да Б стоит слева от А; ко­ман­да В на­хо­дит­ся или левее от Б, или между Б и А; ко­ман­да Г  — или спра­ва от В, или между Б и В, или между А и Б и так далее. Всего 1 · 2 · 3 · 5 · 6 ва­ри­ан­тов.  (1)

Если в чет­вер­том ра­ун­де ко­ман­да А вы­иг­ра­ет у Д, то Д зай­мет место слева от А.

Ко­ли­че­ство таких мест 1 · 2 · 3 · 4 · 6 ва­ри­ан­тов.  (2)

Раз­де­лив (2) на (1), по­лу­чим 0,8.

При­ве­дем ре­ше­ние Олега Гай­нул­ли­на.

Най­дем, с какой ве­ро­ят­но­стью по­бе­дит ко­ман­да Х, про­тив ко­то­рой иг­ра­ет А в четвёртом ра­ун­де. Она по­беж­да­ет тогда и толь­ко тогда, когда она яв­ля­ет­ся более силь­ной, чем все ко­ман­ды, ко­то­рые иг­ра­ли до неё (так как до ко­ман­ды Х дой­дет самая силь­ная ко­ман­да из всех уже сыг­рав­ших). Сле­до­ва­тель­но, Х по­беж­да­ет, если она яв­ля­ет­ся силь­ней­шей ко­ман­дой в спис­ке из пяти слу­чай­ных ко­манд, ве­ро­ят­ность та­ко­го со­бы­тия По­это­му ве­ро­ят­ность того, что в игре с Х по­бе­дит А, равна

При­ме­ча­ние.

Из этого ре­ше­ния сле­ду­ет, что ве­ро­ят­ность по­бе­ды X над любой до­шед­шей до четвёртого тура ко­ман­дой равна Ещё из этого ре­ше­ния ста­но­вит­ся оче­вид­но, что ко­ли­че­ство ко­манд не имеет зна­че­ния, важно толь­ко ко­ли­че­ство ра­ун­дов, а по­то­му легко вы­во­дит­ся фор­му­ла для об­ще­го слу­чая: где n  — ко­ли­че­ство ра­ун­дов.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

По­сколь­ку ко­ман­да A по­бе­ди­ла в пер­вых трёх играх, она яв­ля­ет­ся либо силь­ней­шей среди всех ко­манд, либо вто­рой по силе, либо тре­тьей по силе. Рас­смот­рим три слу­чая.

Пер­вый слу­чай  — ко­ман­да A  — силь­ней­шая. Вы­пи­шем все ко­ман­ды в по­ряд­ке воз­рас­та­ния силы: xxxxxA, где x  — не­ко­то­рая ко­ман­да. Тогда есть 1 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1  =  120 спо­со­бов рас­по­ло­жить по силе осталь­ные ко­ман­ды. По­сколь­ку ко­ман­да A яв­ля­ет­ся силь­ней­шей, ве­ро­ят­ность вы­иг­ры­ша в четвёртом ра­ун­де равна 1.

Вто­рой слу­чай  — ко­ман­да A яв­ля­ет­ся вто­рой по силе среди всех ко­манд. Вы­пи­шем все ко­ман­ды в по­ряд­ке воз­рас­та­ния силы: xxxxAx, где x  — не­ко­то­рая ко­ман­да. За­ме­тим, что спра­ва от ко­ман­ды A может рас­по­ла­гать­ся одна из двух ещё не про­иг­рав­ших ей ко­манд, зна­чит, есть 2 · 1 · 4 · 3 · 2 · 1  =  48 спо­со­бов рас­по­ло­жить по силе осталь­ные ко­ман­ды. По­сколь­ку к четвёртому ра­ун­ду в игре, кроме ко­ман­ды A, оста­лись ещё две ко­ман­ды, одна из ко­то­рых сла­бее ко­ман­ды A, ве­ро­ят­ность по­бе­ды ко­ман­ды A в четвёртом ра­ун­де равна 0,5.

Тре­тий слу­чай  — ко­ман­да A яв­ля­ет­ся тре­тьей по силе среди всех ко­манд. Вы­пи­шем все ко­ман­ды в по­ряд­ке воз­рас­та­ния силы: xxxAxx, где x  — не­ко­то­рая ко­ман­да. За­ме­тим, что спра­ва от ко­ман­ды A могут рас­по­ла­гать­ся две ещё не про­иг­рав­шие ей ко­ман­ды, а слева  — три про­иг­рав­ших ей ко­ман­ды, зна­чит, есть 2 · 1 · 1 · 3 · 2 · 1  =  12 спо­со­бов рас­по­ло­жить по силе осталь­ные ко­ман­ды. По­сколь­ку к четвёртому ра­ун­ду в игре, кроме ко­ман­ды A, оста­лись ещё две ко­ман­ды, обе из ко­то­рых силь­нее ко­ман­ды A, ве­ро­ят­ность по­бе­ды ко­ман­ды A в четвёртом ра­ун­де равна 0.

Таким об­ра­зом, по­сколь­ку из­вест­но, что не­ко­то­рые три ко­ман­ды сла­бее ко­ман­ды A, всего име­ет­ся 120 + 48 + 12  =  180 спо­со­бов рас­по­ло­жить шесть ко­манд по силе. По­сколь­ку три вы­ше­пе­ре­чис­лен­ных слу­чая  — не­сов­мест­ные со­бы­тия, ве­ро­ят­ность по­бе­ды ко­ман­ды A в четвёртом ра­ун­де равна

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

Про­ну­ме­ру­ем ко­ман­ды по воз­рас­та­нию их силы, так что 1  — самая сла­бая ко­ман­да, а 6  — самая силь­ная. За­ме­тим, что если ко­ман­да иг­ра­ет с ко­ман­дой с боль­шим но­ме­ром, то она про­иг­ры­ва­ет, а если с мень­шим но­ме­ром, то вы­иг­ры­ва­ет. Ко­ман­да A по­бе­ди­ла в трех пер­вых играх, сле­до­ва­тель­но, она имеет номер 4, 5 или 6. При этом ко­ман­ды, с ко­то­ры­ми иг­ра­ла ко­ман­да A в пер­вых трех играх, имеют мень­шие но­ме­ра. Сле­до­ва­тель­но, воз­мож­ны всего 15 ва­ри­ан­тов на­бо­ров но­ме­ров ко­манд, при­ни­мав­ших уча­стие в пер­вых че­ты­рех играх, и каж­дый из этих ва­ри­ан­тов может быть ре­а­ли­зо­ван с ве­ро­ят­но­стью (в на­бо­рах ко­ман­да A за­пи­са­на по­след­ней). Све­дем ва­ри­ан­ты в таб­ли­цу.

Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность вы­иг­рать в чет­вер­той игре равна

При­ме­ча­ние к этому ре­ше­нию.

Можно не пе­ре­би­рать в явном виде все ва­ри­ан­ты, а толь­ко под­счи­ты­вать их ко­ли­че­ство. В пер­вых трех играх, кроме ко­ман­ды A, при­ни­ма­ют уча­стие три ко­ман­ды, их но­ме­ра надо вы­брать среди но­ме­ров ко­манд, мень­ших, чем у ко­ман­ды A.

Если ко­ман­да A имеет номер 4, то в пер­вых трех играх кроме нее могли участ­во­вать толь­ко ко­ман­ды с но­ме­ра­ми 1, 2 и 3, и есть лишь один набор но­ме­ров ко­манд: При этом в чет­вер­той игре ко­ман­да A за­ве­до­мо про­иг­ры­ва­ет.

Если ко­ман­да A имеет номер 5, в пер­вых трех играх кроме нее могли участ­во­вать толь­ко ко­ман­ды с но­ме­ра­ми 1, 2, 3 и 4, и есть че­ты­ре на­бо­ра но­ме­ров ко­манд: При этом в чет­вер­той игре ко­ман­да A вы­иг­ры­ва­ет с ве­ро­ят­но­стью 0,5.

Если ко­ман­да A имеет номер 6, в пер­вых трех играх кроме нее могли участ­во­вать толь­ко ко­ман­ды с но­ме­ра­ми 1, 2, 3, 4 и 5, и есть де­сять на­бо­ров но­ме­ров ко­манд: При этом в чет­вер­той игре ко­ман­да A за­ве­до­мо вы­иг­ры­ва­ет.

Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность вы­иг­ры­ша ко­ман­ды A в чет­вер­той игре равна

При­ве­дем ре­ше­ние Анны Мал­ко­вой (Москва).

Про­ну­ме­ру­ем ко­ман­ды по воз­рас­та­нию их силы, так что 1  — самая сла­бая ко­ман­да, а 6  — самая силь­ная. В трех сыг­ран­ных ра­ун­дах сыг­ра­ло 4 ко­ман­ды. Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты: 1234, 1235, 1236, 1245, 1246, 1256, 1345, 1346, 1356, 1456, 2345, 2346, 2356, 2456, 3456. По­лу­ча­ем 15 раз­лич­ных ва­ри­ан­тов. По­бе­дить в трех ра­ун­дах могут толь­ко ко­ман­ды 4, 5 и 6. Ко­ман­да 4 по­беж­да­ет толь­ко в одном из 15 ва­ри­ан­тов, сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность ее по­бе­ды равна Ко­ман­да 5 по­беж­да­ет в 4 из 15 ва­ри­ан­тов, сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность ее по­бе­ды равна Тогда ве­ро­ят­ность по­бе­ды ко­ман­ды 6 равна Ко­ман­да 4 не может по­бе­дить в чет­вер­том ра­ун­де, так как с ко­ман­да­ми, усту­па­ю­щи­ми ей по силе, она уже сыг­ра­ла. Ко­ман­да 6 по­беж­да­ет в чет­вер­том ра­ун­де с ве­ро­ят­но­стью 1, так как она яв­ля­ет­ся самой силь­ной. Ве­ро­ят­ность по­бе­ды ко­ман­ды 5 в чет­вер­том ра­ун­де равна так как она с рав­ной ве­ро­ят­но­стью может сыг­рать как с ко­ман­да­ми, усту­па­ю­щи­ми ей, так и с ко­ман­дой 6. По­это­му ве­ро­ят­ность по­бе­ды ко­ман­ды А в чет­вер­том ра­ун­де равна

При­ве­дем ре­ше­ние Алек­сандра Со­ко­ли­хи­на.

Пусть Max5  — со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ко­ман­да А по­бе­ди­ла в че­ты­рех играх, то есть она самая силь­ная из пер­вых пяти ко­манд в слу­чай­ном спис­ке. Пусть Max4  — со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ко­ман­да А по­бе­ди­ла в трех играх, то есть она самая силь­ная из пер­вых че­ты­рех ко­манд в слу­чай­ном спис­ке. Любая из пер­вых пяти ко­манд с оди­на­ко­вой ве­ро­ят­но­стью может ока­зать­ся самой силь­ной: Ана­ло­гич­но Cобы­тие Max5 со­дер­жит­ся в со­бы­тии Max4, их пе­ре­се­че­ние со­став­ля­ет Max5.Тогда по фор­му­ле услов­ной ве­ро­ят­но­сти:

Упо­ря­до­чим по силе в по­ряд­ке воз­рас­та­ния ко­ман­ду А и k  =  6 про­иг­рав­ших ко­манд  П. Для сле­ду­ю­щей ко­ман­ды есть k + 2 рав­но­ве­ро­ят­ных места, из них k + 1 место, где она сла­бее А.

По­это­му ве­ро­ят­ность вы­иг­рать в сле­ду­ю­щем ра­ун­де равна

Ответ: 0,875.

Упо­ря­до­чим по силе в по­ряд­ке воз­рас­та­ния ко­ман­ду А и k  =  8 про­иг­рав­ших ко­манд  П. Для сле­ду­ю­щей ко­ман­ды есть k + 2 рав­но­ве­ро­ят­ных места, из них k + 1 место, где она сла­бее А.

По­это­му ве­ро­ят­ность вы­иг­рать в сле­ду­ю­щем ра­ун­де равна

Ответ: 0,9.