PDF-версии: 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 высота равна 2, сторона основания равна 1.
а) Докажите, что точки A1 и B равноудалены от плоскости AB1C1.
б) Найдите расстояние от точки B1 до прямой AC1.
Решение. а) Проведем A1B. Этот отрезок делится плоскостью AB1C1 пополам (диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам). Наклонные, проведенные из концов данного отрезка к плоскости, равны, поэтому и расстояния от этих этих концов до данной плоскости равны.
б) Искомое расстояние равно высоте B1H треугольника AB1C1. Треугольник равнобедренный, поскольку 
Дополнительно проведём высоту и медиану AM. Найдём её длину: 
Тогда, 
откуда получаем уравнение 
Следовательно, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Этот отрезок делится плоскостью 
пополам (диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам). А поскольку наклонные, проведенные из концов данного отрезка к плоскости равны, то и расстояния от этих концов до данной плоскости равны.
треугольника 
Треугольник равнобедренный, поскольку 
Дополнительно проведём высоту и медиану 
Найдём её длину: 
площадь треугольника 
равна 
откуда получаем уравнение 
Следовательно, 
равноудалены от плоскости 
делится плоскостью 
Дополнительно проведём высоту и медиану 
Тогда 
откуда получаем уравнение 
Следовательно, 
