PDF-версии: 
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что плоскости
и 
параллельны.
б) Пусть дополнительно известно, что параллелепипед прямоугольный, кроме того AB = 4, BC = 6, CC1 = 4. Найдите тангенс угла между плоскостями CDD1 и BDA1.
Решение. а) Заметим, что прямые BD и B1D1 параллельны, поскольку они лежат в одной плоскости
и не пересекаются (так как лежат еще и в параллельных плоскостях, содержащих грани параллелепипеда). Аналогично 
Значит, по признаку параллельности плоскостей, 
б) Вместо плоскости 
возьмем параллельную ей плоскость 
Пусть E — середина 
Поскольку 
и 
значит, угол DEA — линейный угол искомого угла. Из прямоугольного треугольника DAE находим 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
и
параллельны.
и 
лежат в одной плоскости и не пересекаются, так как лежат еще и в параллельных плоскостях содержащих противоположные грани параллелепипеда. Следовательно, они параллельны. Из аналогичных соображений параллельны прямые BD и 
Но тогда, по признаку параллельности плоскостей, получаем параллельность 
что и требовалось.
возьмем параллельную ей плоскость 
Пусть E — середина 
Значит, угол 
— линейный угол искомого угла. Из прямоугольного треугольника 
находим 
имеют общую прямую BD. Проведем перпендикуляр AH к BD. По теореме о трех перпендикулярах 
Значит, линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и 
— это угол 
Из прямоугольного треугольника BAD находим:
находим: 
