РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

1.  Тип 13 № 502999 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Показательные уравнения

Методы алгебры: Замена переменной, Сведение к однородному

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.5 Показательные уравнения

Уравнения. Показательные уравнения

а)  Решите уравнение $7 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 5 умножить на 6 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 48 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x правая круглая скобка =0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−1; 2].

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

$7 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 5 умножить на 6 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 48 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x правая круглая скобка = 0 равносильно 7 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 5 умножить на 6 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 12 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$ $7 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 5 умножить на 6 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 48 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно 7 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 5 умножить на 6 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 12 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$

$равносильно 7 левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\! плюс 5 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\! минус 12 = 0 равносильно$
$равносильно 7 левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате \!\!\!\! плюс 5 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\! минус 12 = 0 равносильно совокупность выражений левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\!=1, левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\!= минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 7 конец дроби . конец совокупности$ $равносильно 7 левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\! плюс 5 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\! минус 12 = 0 равносильно$
$равносильно 7 левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате \!\!\!\! плюс 5 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\! минус 12 = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\!=1, левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка \!\!\!\!= минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 7 конец дроби . конец совокупности$

У второго уравнения решений нет.

Преобразуем первое уравнение: $x в квадрате минус 3x плюс 1=0,$ откуда $x= дробь: числитель: 3 \pm корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

б)  Оценим $корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента$ целыми числами: $2 меньше корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента меньше 3.$ Тогда

$дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше 3$ и $0 меньше дробь: числитель: 3 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Значит, отрезку $левая квадратная скобка минус 1;2 правая квадратная скобка$ принадлежит только $x= дробь: числитель: 3 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $дробь: числитель: 3 \pm корень из: начало аргумента: 5, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2;$ б) $дробь: числитель: 3 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

502999

а) $дробь: числитель: 3 \pm корень из: начало аргумента: 5, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2;$ б) $дробь: числитель: 3 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Классификатор алгебры: Показательные уравнения

Методы алгебры: Замена переменной, Сведение к однородному

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.5 Показательные уравнения

2.  Тип 13 № 515705 Добавить в вариант

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 4. (Часть 2)

Классификатор алгебры: Показательные уравнения

Методы алгебры: Замена переменной

Уравнения. Показательные уравнения

а)  Решите уравнение $5 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка плюс 20 умножить на 10 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 1 правая круглая скобка минус 7 умножить на 25 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка =0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3;1 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Пусть $a=2 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка , b=5 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка ,$ тогда уравнение принимает вид

$5a в квадрате плюс 2ab минус 7b в квадрате =0$

Решим это уравнение, как квадратное относительно $a.$

$дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби =b в квадрате плюс 5 умножить на 7b в квадрате =36b в квадрате$

$a= дробь: числитель: минус b\pm 6b, знаменатель: 5 конец дроби$

$совокупность выражений a= минус дробь: числитель: 7b, знаменатель: 5 конец дроби ,a=b. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

1)  Уравнение $2 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби умножить на 5 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка$ корней не имеет

2)   $2 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка равносильно x в квадрате плюс 4x=0 равносильно совокупность выражений x=0,x= минус 4. конец совокупности .$

б)  Из чисел $минус 4$ и $0$ отрезку $левая квадратная скобка минус 3;1 правая квадратная скобка .$ принадлежит только число $0$

Ответ: а) −4; 0; б) 0.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: а) −4; 0; б) 0.

515705

а) −4; 0; б) 0.

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 4. (Часть 2)

Классификатор алгебры: Показательные уравнения

Методы алгебры: Замена переменной

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	502999	а) $дробь: числитель: 3 \pm корень из: начало аргумента: 5, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2;$ б) $дробь: числитель: 3 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$
2	515705	а) −4; 0; б) 0.