ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д11 C3 № 501886 Добавить в вариант

Источник: Проект демонстрационной версии ЕГЭ—2014 по математике

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции, Системы неравенств

Методы алгебры: Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Простые системы неравенств. Системы, содержащие логарифмическое неравенство

Решите систему неравенств $система выражений 4 в степени x меньше или равно 9 умножить на 2 в степени x плюс 22, \log_3 левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 плюс \log_3 дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x минус 2 конец дроби . конец системы$

Решение.

Решим первое неравенство. Запишем его в виде $левая круглая скобка 2 в степени x правая круглая скобка в квадрате минус 9 умножить на 2 в степени x минус 22 меньше или равно 0.$

Сделав замену $t=2 в степени x ,$ получим квадратное неравенство:

$t в квадрате минус 9t минус 22 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 11 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно минус 2 меньше или равно t меньше или равно 11.$

Значит, $минус 2 меньше или равно 2 в степени x меньше или равно 11,$ откуда $x меньше или равно логарифм по основанию 2 11.$

Решим второе неравенство:

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x минус 2 конец дроби \leqslant1 равносильно система выражений логарифм по основанию 3 дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x плюс 1 конец дроби \leqslant1, левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы равносильно$

$равносильно система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате \leqslant1, левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате \leqslant3, левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы равносильно система выражений минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше или равно x минус 2 меньше или равно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы равносильно 2 меньше x\leqslant2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ $равносильно система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате \leqslant1, левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате \leqslant3, левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше или равно x минус 2 меньше или равно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы равносильно 2 меньше x\leqslant2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Решением системы является общая часть решений двух неравенств. Сравним $логарифм по основанию 2 11$ и $2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента :$

$2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента больше 2 плюс 1,5 больше 3 плюс логарифм по основанию 2 корень из 2 больше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 8 умножить на 1,4 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 11,2 больше логарифм по основанию 2 11.$

Поэтому решением системы является полуинтервал: $левая круглая скобка 2, логарифм по основанию 2 11 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 2, логарифм по основанию 2 11 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обосновано получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных	0
Максимальный балл	3

Ответ: $левая круглая скобка 2, логарифм по основанию 2 11 правая квадратная скобка .$

Аналоги к заданию № 501886: 504263 Все

Источник: Проект демонстрационной версии ЕГЭ—2014 по математике

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · 1 комментарий · Помощь

Тип Д11 C3 № 504263 Добавить в вариант

Методы алгебры: Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Простые системы неравенств. Системы, содержащие логарифмическое неравенство

Решите систему неравенств:

$система выражений 4 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус 257 умножить на 2 в степени x плюс 16\leqslant0,2 логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x минус 3,7 конец дроби плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 3,7 правая круглая скобка в квадрате \geqslant2. конец системы$

Решение.

Решим первое неравенство. Сделаем замену $y=2 в степени x ,$ имеем:

$16y в квадрате минус 257y плюс 16\leqslant0 равносильно левая круглая скобка y минус 16 правая круглая скобка левая круглая скобка 16y минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби меньше или равно y\leqslant16.$

Отсюда получаем решение первого неравенства:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби меньше или равно 2 в степени x меньше или равно 16 равносильно минус 4 меньше или равно x\leqslant4.$

Решим второе неравенство. Первое слагаемое определено при $дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x минус 3,7 конец дроби больше 0,$ то есть при $x меньше минус 2$ или $x больше 3,7.$ Запомнив это, преобразуем неравенство:

$логарифм по основанию 2 дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x минус 3,7 правая круглая скобка в квадрате конец дроби плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 3,7 правая круглая скобка в квадрате \geqslant2 равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате \geqslant2 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате \geqslant4 равносильно x левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно совокупность выражений x\leqslant минус 4,x\geqslant0. конец совокупности$ $логарифм по основанию 2 дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x минус 3,7 правая круглая скобка в квадрате конец дроби плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 3,7 правая круглая скобка в квадрате \geqslant2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате \geqslant2 равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате \geqslant4 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно совокупность выражений x\leqslant минус 4,x\geqslant0. конец совокупности$

Получаем решение второго неравенства:

$совокупность выражений x\leqslant минус 4x больше 3,7. конец совокупности$

Решением системы является общая часть решений обоих неравенств: $x= минус 4или3,7 меньше x\leqslant4.$

Ответ: $левая фигурная скобка минус 4 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 3,7;4 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 501886: 504263 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе