PDF-версии: 
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 
на промежутке 
имеет более двух корней.
Решение. Отметим, что при
уравнение не имеет положительных корней, поскольку его левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Определим, для каких положительных a графики функций 
имеют более двух точек пересечения на области x > 0.
Уравнение y = ax − 1 задаёт семейство прямых, проходящих через точку 
Если их угловой коэффициент меньше чем у прямой р или больше чем у прямой m (см. рис.), то на промежутке 
графики будут иметь ровно одну общую точку. Если прямая совпадает с прямой р или с прямой m, то графики будут иметь ровно две общие точки. Графики имеют три общие точки, а исходное уравнение имеет три положительных решения, если прямые y = ax − 1 лежат внутри острого угла, образованного прямыми p и m.
Найдём граничные значения параметров, соответствующие этим прямым.
Для прямой p:
Найдём значение параметра, соответствующее касанию. Имеем:
Касательная к гиперболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому дискриминант полученного квадратного уравнения должно быть равен нулю:
Итак, касанию соответствует значение параметра 
При найденных значениях параметров прямая p пересекается с графиком функции 
в точках 
и 
а прямая m касается графика в точке 
Заметим, что точка С действительно лежит левее точки В в силу того, что график выпукл вверх и что ордината точки С положительна, иначе оказалось бы, что наш рисунок неверен и потребовалось рассмотреть соответствующую конфигурацию.
Таким образом, искомыми значениями параметра являются 
Ответ:
Приведём авторское решение.
Рассмотрим функции 
и 
Исследуем уравнение 
на промежутке 
При все значения функции 
на промежутке отрицательны, а все значения функции 
— неотрицательны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке 
При 
функция возрастает. Функция убывает на промежутке 
поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда 
откуда получаем 
то есть 
На промежутке 
уравнение принимает вид 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней, при 
уравнение имеет единственный корень, равный 2, при 
уравнение имеет два корня.
Если уравнение имеет два корня 
и 
то есть 
то больший корень 
поэтому он принадлежит промежутку 
Меньший корень принадлежит промежутку тогда и только тогда, когда
то есть 
Таким образом, исходное уравнение имеет следующее количество корней на промежутке :
— нет корней при 
— один корень при 
и 
— два корня при 
и 
— три корня при
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
имеет более двух корней.
Заметим, что точка 
тогда 
Чтобы была единственная точка касания, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного уравнения был равен нулю: 
Но 
и 
поскольку требуется, чтобы уравнение имело более двух корней.
Исследуем уравнение 
поэтому уравнение 
откуда получаем 
то есть 
уравнение 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней, при 
уравнение имеет единственный корень, при 
уравнение имеет два корня.
то больший корень 
поэтому он принадлежит промежутку 
Меньший корень 
то есть 
имеют более двух точек пересечения на области x > 0. 
в точках 
и 
а прямая р касается графика в точке 
Заметим, что точка С действительно лежит левее точки В, в силу того, что график выпукл вверх, и что ордината точки С положительна, иначе оказалось бы, что наш рисунок неверен и потребовалось рассмотреть соответствующую конфигурацию.
Исследуем уравнение 
поэтому уравнение 
откуда получаем 
то есть 
уравнение 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней, при 
при 
то больший корень 
поэтому он принадлежит промежутку 
Меньший корень 
то есть 
и 
и 
Исследуем уравнение 
поэтому уравнение 
откуда получаем 
то есть 
уравнение 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней; при 
уравнение имеет единственный корень, равный 2; при 
уравнение имеет два корня.
и 
то есть 
то больший корень 
поэтому он принадлежит промежутку 
Меньший корень 
то есть 
и 
и 
(только положительную часть) и 
Отметим, что 
— это прямые, проходящие через точку (0; −1). 
будут лежать между прямыми m и n. Угловой коэффициент прямой n равен 
Для точек пересечения прямой m с ветвью гиперболы находим: 
должен быть равен нулю, откуда 
Таким образом, 
на промежутке 
имеет более двух корней.
Исследуем уравнение 
поэтому уравнение 
причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, 
откуда получаем 
то есть 
уравнение 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней, при 
уравнение имеет единственный корень, равный 4, при 
уравнение имеет два корня.
то больший корень 
поэтому он принадлежит промежутку 
Меньший корень 
то есть 
и 
и 
