Точка E — середина ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что угол между прямыми BE и AD равен углу CBE.
б) Найдите угол между прямыми BE и AD.
Решение. Примем ребро куба за единицу. Тогда
а) По определению угла между скрещивающимися прямыми, он равен углу между пересекающимися прямыми параллельными данным. Прямая BC параллельна прямой AD, значит, искомый угол равен углу CBE.
б) Из прямоугольного треугольника CBE с прямым углом C имеем:
Ответ также может быть представлен в следующем виде: 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
куба 
со стороной равной 1.
на плоскость ABCD − прямая 
как диагонали квадрата. Значит, по теореме о трех перпендикулярах 
Проведём через точку 
прямую, параллельную 
Она пересекает продолжение ребра 
в точке F, причём 
Искомый угол равен углу 
(или смежному с ним).
с прямым углом 
имеем:
по теореме косинусов получаем:
направление оси Oy — с направлением вектора 
и направление оси Oz — с направлением вектора 
Тогда 
Найдем координаты векторов: 
и 
Косинус угла между векторами:
равен 
Проведем через точку A1 прямую, параллельную AE. Она пересекает продолжение ребра BB1 в точке F, причем 
Искомый угол равен углу CA1F (или смежному с ним).
причем 
и 
Тогда 
Проведём через точку 
Искомый угол равен углу 
