Про­ве­дем через вер­ши­ну A пря­мую, па­рал­лель­ную BC. Пусть T  — точка ее пе­ре­се­че­ния с пря­мой CO, а M  — точка пе­ре­се­че­ния AB и CT. Тре­уголь­ник AOT по­до­бен тре­уголь­ни­ку DOC с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му AT  =  3CD  =  12. Зна­чит, тре­уголь­ник AMT равен тре­уголь­ни­ку BMC по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам. Тогда M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Сле­до­ва­тель­но, CM  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC. Ме­ди­а­на пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ная из пря­мо­го угла равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, зна­чит,

Через вер­ши­ну C про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную AB. Пусть Q  — точка ее пе­ре­се­че­ния с пря­мой AO. Тре­уголь­ник CDQ по­до­бен тре­уголь­ни­ку BDA с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му Тогда тре­уголь­ни­ки AMO и QCO равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам. По­это­му O  — се­ре­ди­на CM.

Окруж­ность с цен­тром O про­хо­дит через точку C, и при этом OM  =  OC. Сле­до­ва­тель­но, OM  — ра­ди­ус этой окруж­но­сти. Тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный, а точка M  — одна из точек пе­ре­се­че­ния пря­мой AB и окруж­но­сти. Рас­сто­я­ние СM было най­де­но выше.

Пусть N  — вто­рая точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­сти с пря­мой AB. Тогда угол CNM  — впи­сан­ный и опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр CM, так что CN ⊥ AB, то есть CN  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC.

От­сю­да

Ответ: 7,5 или 7,2.

Про­ве­дем через вер­ши­ну A пря­мую, па­рал­лель­ную BC. Пусть T  — точка ее пе­ре­се­че­ния с пря­мой CO, а M  — точка пе­ре­се­че­ния AB и CT. Тре­уголь­ник AOT по­до­бен тре­уголь­ни­ку DOC с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му AT  =  3CD  =  24. Зна­чит, тре­уголь­ник AMT равен тре­уголь­ни­ку BMC по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам. Тогда M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Сле­до­ва­тель­но, CM  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC.

Через вер­ши­ну C про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную AB. Пусть Q  — точка ее пе­ре­се­че­ния с пря­мой AO. Тре­уголь­ник CDQ по­до­бен тре­уголь­ни­ку BDA с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му Тогда тре­уголь­ни­ки AMO и QCO равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам. По­это­му O  — се­ре­ди­на CM. 

Окруж­ность с цен­тром O про­хо­дит через точку C, и при этом OM  =  OC. Сле­до­ва­тель­но, OM  — ра­ди­ус этой окруж­но­сти. Тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный, а точка M  — одна из точек пе­ре­се­че­ния пря­мой AB и окруж­но­сти.

Пусть N  — вто­рая точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­сти с пря­мой AB. Тогда угол CNM  — впи­сан­ный и опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр CM, так что CN ⊥ AB, то есть CN  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC.

От­сю­да

Ответ: 12,5 или 6,72.

За­ме­тим, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный: Про­ве­дем через вер­ши­ну A пря­мую, па­рал­лель­ную BC. Пусть T  — точка ее пе­ре­се­че­ния с пря­мой CO, а M  — точка пе­ре­се­че­ния AB и CT. Тре­уголь­ник AOT по­до­бен тре­уголь­ни­ку DOC с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му AT  =  3CD  =  12. Зна­чит, тре­уголь­ник AMT равен тре­уголь­ни­ку BMC по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам. Тогда M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Сле­до­ва­тель­но, CM  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC. Ме­ди­а­на пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ная из пря­мо­го угла равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, зна­чит,

Через вер­ши­ну C про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную AB. Пусть Q  — точка ее пе­ре­се­че­ния с пря­мой AO. Тре­уголь­ник CDQ по­до­бен тре­уголь­ни­ку BDA с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му Тогда тре­уголь­ни­ки AMO и QCO равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам. По­это­му O  — се­ре­ди­на CM. 

Окруж­ность с цен­тром O про­хо­дит через точку C, и при этом OM  =  OC. Сле­до­ва­тель­но, OM  — ра­ди­ус этой окруж­но­сти. Тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный, а точка M  — одна из точек пе­ре­се­че­ния пря­мой AB и окруж­но­сти.

Пусть N  — вто­рая точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­сти с пря­мой AB. Тогда угол CNM  — впи­сан­ный и опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр CM, так что CN ⊥ AB, то есть CN  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC.

От­сю­да

Ответ: 6,5 или

Про­ве­дем через вер­ши­ну A пря­мую, па­рал­лель­ную BC. Пусть T  — точка ее пе­ре­се­че­ния с пря­мой CO, а M  — точка пе­ре­се­че­ния AB и CT. Тре­уголь­ник AOT по­до­бен тре­уголь­ни­ку DOC с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му AT = 3CD = 21. Зна­чит, тре­уголь­ник AMT равен тре­уголь­ни­ку BMC по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам. Тогда M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Сле­до­ва­тель­но, CM  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC. Не­труд­но за­ме­тить, что тре­уголь­ник ABC  — пря­мо­уголь­ный. Ме­ди­а­на пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ная из пря­мо­го угла равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, зна­чит,

Через вер­ши­ну C про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную AB. Пусть Q  — точка ее пе­ре­се­че­ния с пря­мой AO. Тре­уголь­ник CDQ по­до­бен тре­уголь­ни­ку BDA с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му Тогда тре­уголь­ни­ки AMO и QCO равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам. По­это­му O  — се­ре­ди­на CM.

Окруж­ность с цен­тром O про­хо­дит через точку C, и при этом OM=OC. Сле­до­ва­тель­но, OM  — ра­ди­ус этой окруж­но­сти, а точка M  — одна из точек пе­ре­се­че­ния пря­мой AB и окруж­но­сти.

Пусть N  — вто­рая точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­сти с пря­мой AB. Тогда угол CNM  — впи­сан­ный и опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр CM, так что то есть CN  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC.

От­сю­да

Ответ: 14,5 или

Про­ве­дем через вер­ши­ну A пря­мую, па­рал­лель­ную Пусть T  — точка ее пе­ре­се­че­ния с пря­мой CO, а M  — точка пе­ре­се­че­ния AB и Тре­уголь­ник AOT по­до­бен тре­уголь­ни­ку DOC с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му Зна­чит, тре­уголь­ник AMT равен тре­уголь­ни­ку BMC по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам. Тогда M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны Сле­до­ва­тель­но, CM  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка Ме­ди­а­на пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ная из пря­мо­го угла равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, зна­чит,

Через вер­ши­ну C про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную Пусть Q  — точка ее пе­ре­се­че­ния с пря­мой Тре­уголь­ник CDQ по­до­бен тре­уголь­ни­ку BDA с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му Тогда тре­уголь­ни­ки AMO и QCO равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам. По­это­му O  — се­ре­ди­на  

Окруж­ность с цен­тром O про­хо­дит через точку C, и при этом Сле­до­ва­тель­но, OM  — ра­ди­ус этой окруж­но­сти. Тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный, а точка M  — одна из точек пе­ре­се­че­ния пря­мой AB и окруж­но­сти.

Пусть N  — вто­рая точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­сти с пря­мой Тогда угол CNM  — впи­сан­ный и опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр CM, так что то есть CN  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка

От­сю­да

Ответ: 2,5 или

Про­ве­дем через вер­ши­ну A пря­мую, па­рал­лель­ную Пусть T  — точка ее пе­ре­се­че­ния с пря­мой CO, а M  — точка пе­ре­се­че­ния AB и Тре­уголь­ник AOT по­до­бен тре­уголь­ни­ку DOC с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му Зна­чит, тре­уголь­ник AMT равен тре­уголь­ни­ку BMC по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам. Тогда M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны Сле­до­ва­тель­но, CM  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка Ме­ди­а­ну тре­уголь­ни­ка найдём по фор­му­ле ме­ди­а­ны

Через вер­ши­ну C про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную Пусть Q  — точка ее пе­ре­се­че­ния с пря­мой Тре­уголь­ник CDQ по­до­бен тре­уголь­ни­ку BDA с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му Тогда тре­уголь­ни­ки AMO и QCO равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам. По­это­му O  — се­ре­ди­на  

Окруж­ность с цен­тром O про­хо­дит через точку C, и при этом Сле­до­ва­тель­но, OM  — ра­ди­ус этой окруж­но­сти. И точка M  — одна из точек пе­ре­се­че­ния пря­мой AB и окруж­но­сти. Зна­чит, CM - одно из ис­ко­мых рас­сто­я­ний

Пусть N  — вто­рая точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­сти с пря­мой Тогда угол CNM  — впи­сан­ный и опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр CM, так что то есть CN  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка

Ис­поль­зуя фор­му­лы пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка, по­лу­ча­ем

где

От­сю­да

Ответ: или