PDF-версии: 
Дан треугольник ABC со сторонами AB = 15, AC = 9 и BC = 12. На стороне BC взята точка D, а на отрезке AD — точка O, причем CD = 4 и AO = 3OD. Окружность с центром O проходит через точку C. Найдите расстояние от точки C до точки пересечения этой окружности с прямой AB.
Решение. Проведем через вершину A прямую, параллельную BC. Пусть T — точка ее пересечения с прямой CO, а M — точка пересечения AB и CT. Треугольник AOT подобен треугольнику DOC с коэффициентом
поэтому AT = 3CD = 12. Значит, треугольник AMT равен треугольнику BMC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда M — середина стороны AB. Следовательно, CM — медиана треугольника ABC. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы, значит, 
Через вершину C проведем прямую, параллельную AB. Пусть Q — точка ее пересечения с прямой AO. Треугольник CDQ подобен треугольнику BDA с коэффициентом 
поэтому 
Тогда треугольники AMO и QCO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому O — середина CM.
Окружность с центром O проходит через точку C, и при этом OM = OC. Следовательно, OM — радиус этой окружности. Треугольник ABC прямоугольный, 
а точка M — одна из точек пересечения прямой AB и окружности. Расстояние СM было найдено выше.
Пусть N — вторая точка пересечения окружности с прямой AB. Тогда угол CNM — вписанный и опирающийся на диаметр CM, так что CN ⊥ AB, то есть CN — высота треугольника ABC.
Отсюда 
Ответ: 7,5 или 7,2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Рассмотрена верная геометрическая конфигурация. Найдено одно верное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена верная геометрическая конфигурация. Найдено одно значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Тогда треугольники AMO и QCO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому O — середина CM. 
а точка M — одна из точек пересечения прямой AB и окружности.
Проведем через вершину A прямую, параллельную BC. Пусть T — точка ее пересечения с прямой CO, а 
Тогда треугольники AMO и QCO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому O — середина CM. 
а точка M — одна из точек пересечения прямой AB и окружности.
Тогда треугольники AMO и QCO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому O — середина CM.
то есть CN — высота треугольника ABC. 
и AO = 3OD. Окружность с центром O проходит через точку C. Найдите расстояние от точки C до точки пересечения этой окружности с прямой AB.
Пусть T — точка ее пересечения с прямой CO, а 
Треугольник AOT подобен треугольнику DOC с коэффициентом 
Значит, треугольник AMT равен треугольнику BMC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда M — середина стороны 
Следовательно, CM — медиана треугольника 
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы, значит, 
Треугольник CDQ подобен треугольнику BDA с коэффициентом 
Тогда треугольники AMO и QCO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому O — середина 
Следовательно, OM — радиус этой окружности. Треугольник ABC прямоугольный, 
а точка M — одна из точек пересечения прямой AB и окружности.
Значит, треугольник AMT равен треугольнику BMC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда M — середина стороны 
Тогда треугольники AMO и QCO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому O — середина 
где 
или 