ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 485977 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Однородные тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Разложение на множители, Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $синус 2x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате x минус 4 синус x плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Разложим левую часть на множители:

$2 синус x косинус x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате x минус 4 синус x плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x=0 равносильно$

$равносильно синус x левая круглая скобка косинус x минус 2 правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x левая круглая скобка косинус x минус 2 правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка косинус x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x правая круглая скобка =0.$

Уравнение $косинус x минус 2=0$ не имеет корней. Имеем $синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x=0.$

Если $косинус x=0,$ то $синус x=0,$ это невозможно. Это однородное уравнение первой степени, разделим обе его части на $косинус x.$ Получаем:

$тангенс x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =0 равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ принадлежат корни $дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби$ и $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби$ (см. рис.).

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 485977: 485986 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · 1 комментарий · Видеокурс · Помощь

Тип 13 № 485986 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Однородные уравнения 1-й и 2-й степени, Однородные тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Разложение на множители, Формулы двойного угла

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $синус 2x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате x плюс 4 косинус x минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , Пи правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Преобразуем уравнение и разложим левую часть на множители:

$2 синус x косинус x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате x плюс 4 косинус x минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x=0 равносильно$

$равносильно косинус x левая круглая скобка синус x плюс 2 правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x левая круглая скобка синус x плюс 2 правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка синус x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x правая круглая скобка =0.$

Уравнение $синус x плюс 2=0,$ не имеет корней. Уравнение $косинус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x=0.$ является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Разделим обе части уравнения на $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x.$ Получаем:

$тангенс x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби =0 равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$

б)  Отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , Пи правая квадратная скобка$ принадлежит только корень $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 485977: 485986 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · 1 комментарий · Видеокурс · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе