PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 76, вписана окружность, AB = 14. Найдите длину стороны CD.
Даны векторы 
Найдите длину вектора 
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 20. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.
В сборнике билетов по географии всего 25 билетов, в 15 из них встречается вопрос по теме «Реки и озёра». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Реки и озёра».
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,03. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,04. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения: 
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−1; 13). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени υ = 2 моля воздуха объeмом V1 = 32 л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма V2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением 
где α = 17,3 — постоянная, а T = 300 К — температура воздуха. Какой объeм V2 (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10 380 Дж?
Два велосипедиста одновременно отправились в 190-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 9 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 9 часов раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
На рисунке изображён график функции 
Найдите 
Найдите точку максимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку 
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M — середина SD, точка K — середина SA.
а) Докажите, что прямые BK и CM лежат в одной плоскости α.
б) Найдите объем пирамиды MABF, если угол между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды равен 60° и AB = 4.
Решите неравенство 
В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на 16 млн рублей на 3 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 30% меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2031 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 21,256 млн рублей. Найдите r.
В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и CT. Из точки H проведены перпендикуляры HK и HM на стороны AC и AB соответственно. Прямая MK пересекает прямую CT в точке E.
а) Докажите, что EH ∥ AB.
б) Найдите ME, если известно, что AB = 5 и AC = 6.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно 2 решения.
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее −30. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 5, а на всех красных — на 3. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным 1?
б) Может ли количество синих карт быть равным 40?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?
Следовательно,
и 
:
при заданных значениях постоянной 
температуры воздуха 
количества вещества воздуха 
и объема воздуха 
км/ч — скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, тогда скорость второго велосипедиста равна 
км/ч. Первый велосипедист прибыл к финишу на 9 часа раньше второго, отсюда имеем: 
Таким образом, 
и 
Шестиугольник ABCDEF — правильный, следовательно, прямая BC соответственно параллельна прямым AD и KM, а 
В четырехугольнике BCKM прямые KM и BC параллельны и 
а потому этот четырехугольник — параллелограмм. Прямые BK и CM параллельны, значит, они лежат в одной плоскости.
Из прямоугольного треугольника NOQ получаем:
то есть 
Преобразуем при этом ограничении:
Отсюда следует, что 
а поскольку точки E и H лежат по одну сторону от прямой CK, то четырехугольник EHCK — вписанный. Вписанные углы HKC и HEC опираются на одну дугу, а потому равны: 
Таким образом, прямые HE и AB соответственно перпендикулярны прямой CT, то есть параллельны.
тогда получаем 
откуда 
В силу равенства прямоугольных треугольников ABH и CBT по гипотенузе и острому углу находим:
а потому
а потому
значения 
не определены, а корень 
Этот случай подходит.
уравнение имеет три решения: 
Этот случай не подходит.
уравнение имеет два положительных корня 
и два отрицательных. Для того, чтобы уравнение имело ровно два решения, необходимо, чтобы были равны два отрицательных и два положительных корня соответственно. Корни 
и 
При этом значении параметра отрицательные корни 
и 
также совпадают. Следовательно, при 
уравнение имеет два решения: 
Этот случай подходит.
уравнение имеет положительный корень 
что больше –2. Этот случай не подходит.