Ре­ше­ние. Луч AD  — бис­сек­три­са, она делит угол по­по­лам. По­лу­ча­ем:

Ответ: 66.

Ре­ше­ние. Вы­пи­шем ко­ор­ди­на­ты век­то­ров: и Най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ра

Най­дем длину век­то­ра:

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Объем ци­лин­дра равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту, а объем ко­ну­са равен одной трети про­из­ве­де­ния пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту. По­сколь­ку они имеют общее ос­но­ва­ние и вы­со­ту, объем ци­лин­дра в три раза боль­ше объ­е­ма ко­ну­са.

Ответ: 75.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность суммы двух не­сов­мест­ных со­бы­тий равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: 0,2 + 0,12  =  0,32.

Ответ: 0,32.

Ре­ше­ние. Воз­мож­ны два слу­чая: сна­ча­ла вы­бра­ли синий фло­ма­стер, потом крас­ный, или сна­ча­ла вы­бра­ли крас­ный фло­ма­стер, потом синий. Эти со­бы­тия не­сов­мест­ны, по­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна:

Ответ: 0,1.

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем в квад­рат:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку угол альфа лежит в пер­вой чет­вер­ти, его тан­генс по­ло­жи­те­лен. По­это­му

Ответ: 0,2.

Ре­ше­ние. Точки мак­си­му­ма со­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной с по­ло­жи­тель­но­го на от­ри­ца­тель­ный. На от­рез­ке [−6; 9] функ­ция имеет одну точку мак­си­му­ма x  =  7.

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния при из­вест­ном зна­че­ни­ях по­сто­ян­ной и за­дан­ной пло­ща­ди звез­ды

от­ку­да

Ответ: 6000.

Ре­ше­ние. Пусть масса пер­во­го спла­ва m кг, а масса вто­ро­го  —  кг, масса тре­тье­го спла­ва  —  кг. Пер­вый сплав со­дер­жит 10% меди, вто­рой  — 40% меди, тре­тий сплав  — 30% меди. Тогда:

Таким об­ра­зом, масса пер­во­го спла­ва равна 30 кг, тогда масса тре­тье­го спла­ва равна 150 кг.

Ответ: 150.

Ре­ше­ние. Из ри­сун­ка видно, что сле­до­ва­тель­но,

Решая по­лу­чен­ную си­сте­му, на­хо­дим: a  =  1, b  =  −3, c  =  2. Тогда

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Функ­ция опре­де­ле­на на Найдём её про­из­вод­ную:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма

Ответ: 8.

Ре­ше­ние.

а)  Ис­поль­зуя три­го­но­мет­ри­че­скую фор­му­лу раз­но­сти ар­гу­мен­тов и ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство, по­лу­чим:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.). Под­хо­дят числа 

Ответ: а)  б) 

Ре­ше­ние.

а)  Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ниж­нее ос­но­ва­ние приз­мы по пря­мой AC. Вслед­ствие па­рал­лель­но­сти плос­ко­стей ос­но­ва­ний приз­мы за­клю­ча­ем, что плос­кость α пе­ре­се­чет верх­нее ос­но­ва­ние по пря­мой, па­рал­лель­ной пря­мой AC. Про­ве­дем через точку K пря­мую KM па­рал­лель­но пря­мой AC. Пря­мые AC и A₁C₁ па­рал­лель­ны, по­это­му па­рал­лель­ны пря­мые A₁C₁ и KM. Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме Фа­ле­са от­ре­зок KM  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка A₁B₁C₁. Тре­уголь­ни­ки AA₁K и CC₁M равны по двум ка­те­там, по­это­му Таким об­ра­зом, че­ты­рех­уголь­ник AKMC  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Про­длим пря­мые BB₁, AK и CM до пе­ре­се­че­ния в точке P (см. рис.). Про­ве­дем вы­со­ту BN в тре­уголь­ни­ке ABC, тогда пря­мая BN пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC по по­стро­е­нию, пря­мая PB пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пра­виль­ной приз­мы, а по­то­му и пря­мой AC, ле­жа­щей в этой плос­ко­сти. Сле­до­ва­тель­но, пря­мая AC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти PNB. По­стро­им пер­пен­ди­ку­ляр BH в тре­уголь­ни­ке PNB. Пря­мая BH пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой PN по по­стро­е­нию и пря­мой AC по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, то есть пря­мая BH пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти α, от­ре­зок BH  — ис­ко­мое рас­сто­я­ние.

Тре­уголь­ни­ки CPB и MPB₁ по­доб­ны по двум углам, от­ку­да то есть В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC вы­со­та равна Длина вы­со­ты, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны пря­мо­го угла, равна про­из­ве­де­нию длин ка­те­тов, де­лен­но­му на длину ги­по­те­ну­зы, по­это­му в тре­уголь­ни­ке PNB по­лу­ча­ем:

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. Пусть тогда:

Далее на­хо­дим:

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть, банк на­чис­ля­ет r про­цен­тов, то есть умно­жа­ет оста­ток долга на Обо­зна­чим это вы­ра­же­ние за x. Тогда пер­вые три пла­те­жа со­став­ля­ли мил­ли­о­нов руб­лей.

Пусть чет­вер­тый и пятый пла­те­жи со­став­ля­ли N мил­ли­о­нов руб­лей. Тогда от­ку­да

По усло­вию Решим это урав­не­ние:

Тогда банк на­чис­лял 20% го­до­вых.

Ответ: 20.

Ре­ше­ние.

а)  Из усло­вия сле­ду­ет, что от­ре­зок MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, а по­то­му и Сле­до­ва­тель­но,

Таким об­ра­зом, то есть тре­уголь­ни­ки ABN и MNK  — пря­мо­уголь­ные, ка­те­ты ко­то­рых про­пор­ци­о­наль­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том 2. Такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны, тогда от­ку­да

б)  Про­длим пря­мые AB и MK до пе­ре­се­че­ния в точке S, от­ре­зок PL  — ис­ко­мый (см. рис.). Из до­ка­зан­но­го в пунк­те а) на­хо­дим Углы BKS и MKN равны как вер­ти­каль­ные, по­это­му пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки BKS и MKN равны по ка­те­ту и остро­му углу, от­ку­да Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABN по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим Углы APS и MPN равны как вер­ти­каль­ные, углы BSK и KMN равны как со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты рав­ных тре­уголь­ни­ков, по­это­му тре­уголь­ни­ки APS и NPM по­доб­ны, то есть

От­сю­да При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABP:

Углы APB и NPL равны как вер­ти­каль­ные, углы ABP и NLP равны как на­крест ле­жа­щие при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых AB и MN се­ку­щей BL, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки ABP и NLP по­доб­ны по двум углам. Таким об­ра­зом, от­ку­да

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что если пара чисел яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы, то пара чисел тоже яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы. Зна­чит, чтобы ре­ше­ние было един­ствен­ным, не­об­хо­ди­мо, чтобы С учётом вто­ро­го урав­не­ния си­сте­мы по­лу­ча­ем, что един­ствен­ным ре­ше­ни­ем может яв­лять­ся либо пара чисел либо пара чисел

Пара чисел яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы при Про­ве­рим есть ли дру­гие ре­ше­ния при этом зна­че­нии па­ра­мет­ра. Под­став­ляя най­ден­ное зна­че­ние па­ра­мет­ра, на­хо­дим:

Из вто­ро­го урав­не­ния си­сте­мы по­лу­ча­ем, что и тогда левая часть пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы не­от­ри­ца­тель­на, а пра­вая не­по­ло­жи­тель­на, причём ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся толь­ко при и Зна­чит, при си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Пара чисел яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы при Под­став­ляя най­ден­ное зна­че­ние па­ра­мет­ра, на­хо­дим:

За­ме­тим, что кроме пары чисел ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся пара чисел Зна­чит, при си­сте­ма имеет более од­но­го ре­ше­ния.

Ответ: {1}.

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, числа 2034 и 9 имеют оди­на­ко­вую сумму цифр и в сумме дают 2043.

б)  Пред­по­ло­жим, что число 599 можно пред­ста­вить в виде суммы двух на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр. Пусть одно из этих чисел со­сто­ит из a сотен, b де­сят­ков и c еди­ниц. Тогда дру­гое число со­сто­ит из сотен, де­сят­ков и еди­ниц. Суммы цифр этих чисел равны и со­от­вет­ствен­но. Они имеют раз­ную чётность и не могут быть оди­на­ко­вы­ми.

в)  Наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, ко­то­рое можно пред­ста­вить в виде суммы семи раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой фик­си­ро­ван­ной сум­мой цифр, равно сумме семи наи­мень­ших чисел с этой сум­мой цифр. Для сумм 1, 2, 3, 4, 5 и 6 имеем со­от­вет­ствен­но:

Если сумма цифр равна 7 или боль­ше, обо­зна­чим её через a. Тогда наи­мень­шее из таких чисел  — как ми­ни­мум a. Числа с оди­на­ко­вой сум­мой цифр дают оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 9, по­это­му идут ми­ни­мум через 9. Зна­чит, их сумма не мень­ше чем

Ис­ко­мое число равно 231.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  231.