PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если 
Решение.
а) Прямая ML параллельна прямой AC, поскольку содержит среднюю линию треугольника ABC (см. рис.). Следовательно, 
Таким образом,
то есть точки A, B, C и L лежат на окружности с центром в точке M. Получаем:
а значит, треугольники AML и BLC подобны по двум углам.
б) Углы ALB и ACB опираются на одну дугу, значит, 
Коэффициент подобия треугольников BLC и AML равен
По условию 
откуда
Значит, 
и площади треугольников AML и BLC относятся 
Ответ: б) 25 : 36.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если 
Решение. а) Прямая ML параллельна прямой AC, поскольку содержит среднюю линию треугольника ABC (см. рис.). Следовательно,
Таким образом,
то есть точки A, B, C и L лежат на окружности с центром в точке M. Получаем:
а значит, треугольники AML и BLC подобны по двум углам.
б) Углы ALB и ACB опираются на одну дугу, значит, Коэффициент подобия треугольников BLC и AML равен
По условию 
откуда
Значит, 
и площади треугольников AML и BLC относятся 
Ответ: б) 9 : 16.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK : KC = 1 : 3.
а) Докажите, что AN = 2KM.
б) Пусть P — точка пересечения отрезков AN и KM. Найдите длину отрезка прямой BP, заключенного внутри треугольника KMN, если AB = 10, BC = 16.
Решение. а) Из условия следует, что отрезок MN — средняя линия треугольника ABC, а потому
и 
Следовательно,
Таким образом, 
то есть треугольники ABN и MNK — прямоугольные, катеты которых пропорциональны с коэффициентом 2. Такие треугольники подобны, тогда 
откуда 
б) Продлим прямые AB и MK до пересечения в точке S, отрезок PL — искомый (см. рис.). Из доказанного в пункте а) находим 
Углы BKS и MKN равны как вертикальные, поэтому прямоугольные треугольники BKS и MKN равны по катету и острому углу, откуда 
Из прямоугольного треугольника ABN по теореме Пифагора находим 
Углы APS и MPN равны как вертикальные, углы BSK и KMN равны как соответствующие элементы равных треугольников, поэтому треугольники APS и NPM подобны, то есть
Отсюда 
Применим теорему косинусов для треугольника ABP:
Углы APB и NPL равны как вертикальные, углы ABP и NLP равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AB и MN секущей BL, следовательно, треугольники ABP и NLP подобны по двум углам. Таким образом, 
откуда
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK : KC = 1 : 3.
а) Докажите, что AN = 2KM.
б) Пусть P — точка пересечения отрезков AN и KM. Найдите длину отрезка прямой BP, заключенного внутри треугольника KMN, если AB = 6, BC = 8.
Решение. а) Из условия следует, что отрезок MN — средняя линия треугольника ABC, а потому
и Следовательно,
Таким образом, то есть треугольники ABN и MNK — прямоугольные, катеты которых пропорциональны с коэффициентом 2. Такие треугольники подобны, тогда откуда
б) Продлим прямые AB и MK до пересечения в точке S, отрезок PL — искомый (см. рис.). Из доказанного в пункте а) находим 
Углы BKS и MKN равны как вертикальные, поэтому прямоугольные треугольники BKS и MKN равны по катету и острому углу, откуда 
Из прямоугольного треугольника ABN по теореме Пифагора находим 
Углы APS и MPN равны как вертикальные, углы BSK и KMN равны как соответствующие элементы равных треугольников, поэтому треугольники APS и NPM подобны, то есть
Отсюда 
Применим теорему косинусов для треугольника ABP:
Углы APB и NPL равны как вертикальные, углы ABP и NLP равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AB и MN секущей BL, следовательно, треугольники ABP и NLP подобны по двум углам. Таким образом, 
откуда
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, касающаяся катетов AC, BC и гипотенузы AB в точках M, E и K соответственно. Отрезок EH — перпендикуляр из точки E на прямую MK.
а) Докажите, что EK ∥ CH.
б) Известно, что AC = 15, BC = 8. Найти отношение CH к EK.
Решение. а) Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, отсюда
Сумма углов MCE и MHE равна 180°, поэтому четырехугольник MHEC — вписанный. Следовательно, углы EMH и ECH равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу, которую стягивает эта хорда, а потому 
Таким образом, 
то есть при пересечении прямых EK и CH секущей BC соответственные углы равны, а такие прямые параллельны.
б) Длину гипотенузы треугольника ABC найдем по теореме Пифагора:
откуда 
Пусть 
тогда из равнобедренного треугольника BEK находим 
Получаем:
Пусть 
Из условия получаем:
По теореме косинусов для треугольника BEK находим:
откуда
Из прямоугольного равнобедренного треугольника ECM находим 
Отрезок EM — диаметр описанной около четырехугольника CEHM окружности, потому что на него опираются два прямых угла. Эта окружность служит описанной и для треугольника CEH. По свойству вписанного четырехугольника получаем 
По теореме синусов для треугольника CEH находим:
В равнобедренном треугольнике AKM 
а потому
Следовательно,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и CT к боковым сторонам BC и AB. Из точки H проведены высоты HK и HM на стороны AC и AB соответственно. Прямая MK пересекает прямую CT в точке E.
а) Докажите, что EH ∥ AB.
б) Найдите HE, если известно, что AB = 13 и AC = 10.
Решение. а) Сумма углов AMH и AKH равна 180°, поэтому четырехугольник AMHK — вписанный. Вписанные углы HMK и KAH опираются на одну дугу, а потому равны. Прямые CT и HM соответственно перпендикулярны прямой AB, то есть эти прямые параллельны, тогда при пересечении их секущей MK образуются равные накрест лежащие углы HMK и MET. Углы MET и KEC равны как вертикальные, а
Отсюда следует, что 
а поскольку точки E и H лежат по одну сторону от прямой CK, то четырехугольник EHCK — вписанный. Вписанные углы HKC и HEC опираются на одну дугу, а потому равны: 
Таким образом, прямые HE и AB соответственно перпендикулярны прямой CT, то есть параллельны.
б) Из доказанного в пункте а) следует, что четырехугольник TMHE — прямоугольник. По теореме косинусов для треугольника ABC получаем:
В силу равенства прямоугольных треугольников ABH и CBT по гипотенузе и острому углу находим:
Следовательно,
Ответ: 
Приведем другое доказательство пункта а).
Углы ATC и AHC — прямые и опираются на одну сторону AC. Следовательно, точки T и H лежат на одной окружности с диаметром AC. По теореме Симсона основания перпендикуляров, проведенных из случайной точки описанной окружности треугольника, проведенных к его сторонам или их продолжениям, лежат на одной прямой — прямой Симсона. Перпендикуляры, проведенные из точки H, лежащей на описанной окружности треугольника ATC, пересекают сторону AT на ее продолжении за точку T в точке M и сторону AC в точке K соответственно. Следовательно, перпендикуляр, проведенный из точки H к стороне CT, пересекает эту сторону в точке, лежащей на прямой MK. Это точка E.
Следовательно, прямая HE перпендикулярна прямой CT. Прямая CT перпендикулярна прямым AB и HE, а потому прямые AB и HE параллельны.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и CT к боковым сторонам BC и AB. Из точки H проведены перпендикуляры HK и HM на стороны AC и AB соответственно. Прямая MK пересекает прямую CT в точке E.
а) Докажите, что прямые EH и AB параллельны.
б) Найдите ME, если известно, что AB = 17 и AC = 16.
Решение. а) Сумма углов AMH и AKH равна 180°, поэтому четырехугольник AMHK — вписанный. Вписанные углы HMK и KAH опираются на одну дугу, а потому равны. Прямые CT и HM перпендикулярны прямой AB, поэтому эти прямые параллельны. Тогда при пересечении их секущей MK образуются равные накрест лежащие углы HMK и MET. Углы MET и KEC равны как вертикальные, а
Отсюда следует, что а поскольку точки E и H лежат по одну сторону от прямой CK, то четырехугольник EHCK — вписанный. Вписанные углы HKC и HEC опираются на одну дугу, а потому равны: Таким образом, прямые HE и AB соответственно перпендикулярны прямой CT, то есть параллельны.
б) По теореме косинусов для треугольника ABC находим:
Пусть 
тогда получаем 
откуда 
В силу равенства прямоугольных треугольников ABH и CBT по гипотенузе и острому углу находим:
Следовательно,
Из прямоугольного треугольника MET получаем 
а потому
Ответ: 
Приведем другое доказательство пункта а).
Углы ATC и AHC — прямые и опираются на одну сторону AC. Следовательно, точки T и H лежат на одной окружности с диаметром AC. По теореме Симсона основания перпендикуляров, проведенных из случайной точки описанной окружности треугольника, проведенных к его сторонам или их продолжениям, лежат на одной прямой — прямой Симсона. Перпендикуляры, проведенные из точки H, лежащей на описанной окружности треугольника ATC, пересекают сторону AT на ее продолжении за точку T в точке M и сторону AC в точке K соответственно. Следовательно, перпендикуляр, проведенный из точки H к стороне CT, пересекает эту сторону в точке, лежащей на прямой MK. Это точка E.
Следовательно, прямая HE перпендикулярна прямой CT. Прямая CT перпендикулярна прямым AB и HE, а потому прямые AB и HE параллельны.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и CT к боковым сторонам BC и AB. Из точки H проведены перпендикуляры HK и HM на стороны AC и AB соответственно. Прямая MK пересекает прямую CT в точке E.
а) Докажите, что EH ∥ AB.
б) Найдите ME, если известно, что AB = 5 и AC = 6.
Решение. а) Сумма углов AMH и AKH равна 180°, поэтому четырехугольник AMHK — вписанный. Вписанные углы HMK и KAH опираются на одну дугу, а потому равны. Прямые CT и HM соответственно перпендикулярны прямой AB, то есть эти прямые параллельны, тогда при пересечении их секущей MK образуются равные накрест лежащие углы HMK и MET. Углы MET и KEC равны как вертикальные, а
Отсюда следует, что а поскольку точки E и H лежат по одну сторону от прямой CK, то четырехугольник EHCK — вписанный. Вписанные углы HKC и HEC опираются на одну дугу, а потому равны: Таким образом, прямые HE и AB соответственно перпендикулярны прямой CT, то есть параллельны.
б) По теореме косинусов для треугольника ABC находим:
Пусть тогда получаем 
откуда 
В силу равенства прямоугольных треугольников ABH и CBT по гипотенузе и острому углу находим:
Следовательно,
Из прямоугольного треугольника MET получаем а потому
Ответ: 
Приведем другое доказательство пункта а).
Углы ATC и AHC — прямые и опираются на одну сторону AC. Следовательно, точки T и H лежат на одной окружности с диаметром AC. По теореме Симсона основания перпендикуляров, проведенных из случайной точки описанной окружности треугольника, проведенных к его сторонам или их продолжениям, лежат на одной прямой — прямой Симсона. Перпендикуляры, проведенные из точки H, лежащей на описанной окружности треугольника ATC, пересекают сторону AT на ее продолжении за точку T в точке M и сторону AC в точке K соответственно. Следовательно, перпендикуляр, проведенный из точки H к стороне CT, пересекает эту сторону в точке, лежащей на прямой MK. Это точка E.
Следовательно, прямая HE перпендикулярна прямой CT. Прямая CT перпендикулярна прямым AB и HE, а потому прямые AB и HE параллельны.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Окружность с центром O касается боковых сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC и его высоты CH.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника ABC, если BO = 1 и AC = 6.
Решение. а) Окружность вписана в треугольник HBC, поэтому её центр O является точкой пересечения биссектрис этого треугольника. Следовательно, лучи CO и HO — биссектрисы углов HCB и BHC соответственно. Треугольники ABO и CBO равны по двум сторонам и углу между ними:
сторона BO — общая, 
Значит, 
Отрезок OH виден под одинаковыми углами из точек A и C, поэтому четырёхугольник ACOH — вписанный. Его вписанные углы AHC и AOC опираются на сторону AC, а значит, они равны: 
б) Окружность вписана в угол ABC, поэтому её центр O лежит на биссектрисе BO угла ABC. Продлим биссектрису BO до пересечения со стороной AC в точке M. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, также является высотой и медианой. Длина медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равна половине длины гипотенузы, а потому для треугольника AOC получаем: 
Таким образом, искомая площадь равна:
Ответ: б) 12.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Окружность с центром O касается боковых сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC, а также его высоты CH.
а) Докажите, что
б) Найдите площадь треугольника ABC, если BO = 7, AC = 16.
Решение. а) Окружность вписана в треугольник HBC, поэтому её центр O является точкой пересечения биссектрис этого треугольника. Следовательно, лучи CO и HO — биссектрисы углов HCB и BHC соответственно. Треугольники ABO и CBO равны по двум сторонам и углу между ними:
сторона BO — общая, Значит, Отрезок OH виден под одинаковыми углами из точек A и C, поэтому четырёхугольник ACOH — вписанный. Его вписанные углы AHC и AOC опираются на сторону AC, а значит, они равны:
б) Окружность вписана в угол ABC, поэтому её центр O лежит на биссектрисе BO угла ABC. Продлим биссектрису BO до пересечения со стороной AC в точке M. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, также является высотой и медианой. Длина медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равна половине длины гипотенузы, а потому для треугольника AOC получаем: 
Таким образом, искомая площадь равна:
Ответ: б) 120.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 13, AC = 24.
Решение. а) Треугольники AMH и AKH — прямоугольные, с общей гипотенузой АН. Значит, точки А, М, К, Н лежат на одной окружности, центр которой — середина отрезка АН. Пусть
тогда 
Отсюда
Следовательно, треугольник AMK — равнобедренный и 
Что и требовалось доказать.
б) Из треугольника ABC получаем, что 
Значит, 
Следовательно,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 3, AC = 5.
Решение. а) Треугольники AMH и AKH — прямоугольные, с общей гипотенузой АН. Значит, точки А, М, К, Н лежат на одной окружности, центр которой — середина отрезка АН. Пусть
тогда Отсюда
Следовательно, треугольник AMK — равнобедренный и Что и требовалось доказать.
б) Из треугольника ABC получаем, что 
Значит, 
Следовательно,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите 
если известно, что отрезок ВМ 
раза
Решение. а) Пусть окружность касается стороны AB в точке N, точка I — центр вписанной окружности. Точка I лежит на биссектрисе угла ABC, значит,
и 
Следовательно, по неравенству треугольника
—
б) Пусть радиус вписанной окружности равен r. Следовательно, 
По теореме косинусов для треугольника BIM получаем:
Таким образом,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |