PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 41°, угол BAD равен 69°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
На координатной плоскости изображены векторы 
и 
Найдите длину вектора 
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 114.
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
В коробке 10 синих, 9 красных и 6 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображен график y = f '(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (−17; 5). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−15; 0].
Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому 
где P — мощность излучения звезды (в ваттах), 
— постоянная, S — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а T — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности не-которой звезды равна 
м2, а мощность её излучения равна 
Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.
Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй — 20% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 15% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?
На рисунке изображён график функции 
где числа a, b и c — целые. Найдите 
Найдите точку максимума функции 
a) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K — середина ребра B1C1. Плоскость α проходит через точки B, K и D.
а) Докажите, что сечение куба плоскостью α является равнобедренной трапецией.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α, если ребро куба равно 6.
Решите неравенство 
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 250 000 рублей. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 150 000 рублей, а второй год — 180 000 рублей.
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если 
Найдите все значения параметра a, при каждом их которых система
имеет ровно одно решение.
а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?
б) Можно ли представить число 599 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?
в) Найдите наименьшую число, которое можно представить в виде суммы семи различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.
Угол ADB является внешним углом треугольника ADC, следовательно, он равен сумме двух не смежных с ним углов: 
и 
Найдем координаты вектора 
где S — площадь основания, а h — высота конуса. Объем цилиндра равен 
поэтому он в 3 раза больше объема конуса. Тем самым, объем конуса равен 38. 
Возведем в квадрат:
= 
при известном значениях постоянной 
и заданной площади звезды 
:
и 
соответственно. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 15% никеля. Получаем систему уравнений:
при этом 
Следовательно, 
заметим, что 
откуда 
вычислим теперь 
с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке 
в нашем случае — в точке −7. Поскольку функция 
возрастает, и функция 
определена в точке −7, она также достигает в ней максимума.
Таким образом, четырехугольник DBKN — равнобедренная трапеция.
то есть отрезки CC1 и PC1 равны. Отрезок AC 
В прямоугольном треугольнике PCO по теореме Пифагора получим:
тогда:
раз
остаток будет равен: 
значит, 
откуда следует, что 
Таким образом,
Коэффициент подобия треугольников BLC и AML равен
откуда
и площади треугольников AML и BLC относятся 
является решением системы, то пара чисел 
тоже является решением системы. Значит, чтобы решение было единственным, необходимо, чтобы 
С учётом второго уравнения системы получаем, что единственным решением может являться либо пара чисел 
либо пара чисел 
Проверим есть ли другие решения при этом значении параметра. Подставляя найденное значение параметра, находим:
и 
тогда левая часть первого уравнения системы неотрицательна, а правая неположительна, причём равенство достигается только при 
и 
Значит, при 
система имеет единственное решение.
является решением системы при 
Подставляя найденное значение параметра, находим:
Значит, при 
система имеет более одного решения.
сотен,
десятков
единиц.
и 
