Ре­ше­ние. а)  На ОДЗ спра­вед­ли­ва рав­но­силь­ность

От­сю­да на­хо­дим:

ОДЗ при­над­ле­жат корни 3 и 5.

б)  В силу не­ра­венств:

спра­вед­ли­ва оцен­ка

Сле­до­ва­тель­но, от­рез­ку при­над­ле­жит ко­рень

Ответ: а)  {3; 5}; б)  3.

Ре­ше­ние. Рас­кро­ем скоб­ки:

Пусть тогда По­лу­ча­ем:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной и решим двой­ное не­ра­вен­ство:

Из со­от­но­ше­ний

сле­ду­ет, что ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства суть про­ме­жут­ки

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Че­ты­рех­уголь­ник ALKD впи­сан в окруж­ность, тогда а по­то­му В тра­пе­ции гра­дус­ные меры углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не, в сумме дают 180°, по­это­му Зна­чит, Таким об­ра­зом, че­ты­рех­уголь­ник BCKL  — впи­сан­ный по свой­ству, и все его вер­ши­ны лежат на одной окруж­но­сти.

б)  От­ре­зок MK  — ме­ди­а­на пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABK, про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе, по­это­му От­ре­зок MN яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей тра­пе­ции, тогда

Про­ве­дем пря­мую CE такую, что точка E лежит на ос­но­ва­нии AD и пря­мая CE па­рал­лель­на сто­ро­не тра­пе­ции AB. Пусть По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка CED по­лу­ча­ем:

Углы MNK и ADC равны как со­от­вет­ствен­ные при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых MN и AD се­ку­щей CD, по­это­му Тре­уголь­ник MNK  — рав­но­бед­рен­ный по опре­де­ле­нию, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. Ис­поль­зуя тож­де­ство по­лу­ча­ем:

Изоб­ра­зим на плос­ко­сти xOy части гра­фи­ков урав­не­ний и со­от­вет­ству­ю­щие и (эти части вы­де­ле­ны на ри­сун­ке оран­же­вым). Гра­фи­ком урав­не­ния где яв­ля­ет­ся се­мей­ство па­ра­бол со стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том 1 и вер­ши­ной в точке Если па­ра­бо­ла про­хо­дит через точку то (вы­де­ле­но синим), если через точку то (вы­де­ле­но зелёным), если через точку (вы­де­ле­но фи­о­ле­то­вым), то если через точку то (вы­де­ле­но крас­ным пунк­ти­ром). Ана­ли­зи­руя гра­фи­ки, по­лу­ча­ем, что си­сте­ма имеет:

— при че­ты­ре ре­ше­ния;

— при три ре­ше­ния;

— при два ре­ше­ния;

— при три ре­ше­ния;

— при менее трёх ре­ше­ний.

Таким об­ра­зом, усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но при

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть на при­лав­ке x то­ва­ров де­шев­ле 2000 руб., y то­ва­ров до­ро­же 2000 руб. и то­ва­ров ценой ровно 2000 руб. Тогда сум­мар­ная цена «де­ше­вых» то­ва­ров равна 1960x руб., «до­ро­гих» 2050y руб., а всех во­об­ще руб. Тогда

Зна­чит, x крат­но 5. Пусть тогда и то­ва­ров ценой ровно 2000 руб. будет

а)  Урав­не­ние имеет ко­рень Зна­чит, если взять 25 то­ва­ров по 1960 руб., 20 то­ва­ров по 2050 руб. и 50 то­ва­ров по 2000 руб., то все усло­вия будут вы­пол­не­ны.

б)  Нет, по­сколь­ку урав­не­ние имеет толь­ко ко­рень для ко­то­ро­го по­лу­ча­ем, что все то­ва­ры стоят по­ров­ну, по 2000 руб.

в)  Ясно, что наи­боль­шая цена будет у од­но­го из до­ро­гих то­ва­ров. Если дру­гой до­ро­гой товар стоит не 2001 руб., то умень­шим цену на него на руб. и под­ни­мем цену на самый до­ро­гой товар, от этого при­мер толь­ко улуч­шит­ся. Итак, в оп­ти­маль­ном при­ме­ре есть товар ценой 2001 руб. и один товар ценой

от­ку­да видно, что самый вы­год­ный при­мер будет при вы­бо­ре наи­боль­ше­го воз­мож­но­го t. По­сколь­ку по­лу­ча­ем, что Итак, самый до­ро­гой товар стоит не более руб.

При­мер  — один такой товар, 39 по 2001 руб., 50 по 1960 руб. и 5 по 2000 руб.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  3961.