Дана трапеция АВСD с основаниями ВС и АD. Точки М и N — середины сторон АВ и СD соответственно. Окружность, проходящая через вершины А и D, пересекает отрезок ВМ в точке L, а отрезок CN – в точке K (L и K отличны от концов отрезков ВМ и CN).
а) Докажите, что точки В, С, K, L лежат на одной окружности.
б) Найдите KN, если известно, что АK и ВK перпендикулярны, AB = 25, BC = 6, CD = 22, AD = 19.
а) Четырехугольник ALKD вписан в окружность, тогда 
а потому 
В трапеции градусные меры углов, прилежащих к одной стороне, в сумме дают 180°, поэтому 
Значит, 
Таким образом, четырехугольник BCKL — вписанный по свойству, и все его вершины лежат на одной окружности.
б) Отрезок MK — медиана прямоугольного треугольника ABK, проведенная к гипотенузе, поэтому 
Отрезок MN является средней линией трапеции, тогда 
Проведем прямую CE такую, что точка E лежит на основании AD и прямая CE параллельна стороне трапеции AB. Пусть 
По теореме косинусов для треугольника CED получаем:
Углы MNK и ADC равны как соответственные при пересечении параллельных прямых MN и AD секущей CD, поэтому 
Треугольник MNK — равнобедренный по определению, следовательно,
Ответ: 