Ре­ше­ние. А)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Б)  Про­из­ведём отбор кор­ней:

Ответ: А) Б)

Ре­ше­ние. а)  По­стро­е­ние: M  — се­ре­ди­на A₁B₁. От­рез­ки MP, MK. N  — се­ре­ди­на CC₁. От­рез­ки NK, NP.

Че­ты­рех­уголь­ник KMPN  — ис­ко­мое се­че­ние. До­ка­жем это.

Ясно, что через три точки K, M, P, не ле­жа­щие на одной пря­мой, про­хо­дит един­ствен­ная плос­кость. От­рез­ки MK и PN  — линии пе­ре­се­че­ния па­рал­лель­ных гра­ней AA₁B₁ и DD₁C₁ па­рал­ле­ле­пи­пе­да се­ку­щей плос­ко­стью обя­за­ны быть па­рал­лель­ны­ми. В пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках MB₁K и PC₁N сле­до­ва­тель­но, MB₁  =  PC₁, B₁K  =  C₁N  — по усло­вию и спо­со­бу по­стро­е­ния точек M и N. От­сю­да: MK  =  PN. Из па­рал­лель­но­сти MK и PN, а также из их ра­вен­ства сле­ду­ет, что KMPN  — па­рал­ле­ло­грамм (по из­вест­но­му при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма). А это зна­чит, что точка N лежит в плос­ко­сти (KMP).

Те­перь до­ка­жем, что (KMP) || BD₁. Со­еди­ним точки D₁ и B₁ от­рез­ком, по­стро­им се­ре­ди­ну этого от­рез­ка и обо­зна­чим L. В ΔBD₁B₁, где LK  — сред­няя линия по усло­вию и спо­со­бу по­стро­е­ния точки L. Сле­до­ва­тель­но, LK || BD₁. Так как LK ⊂ (KMP), то (KMP) || BD₁ по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мой и плос­ко­сти.

До­ка­жем, что KMPN  — пря­мо­уголь­ник. Для этого по­ме­стим па­рал­ле­ле­пи­пед в де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат, на­пра­вив ось y  — по DC, ось x  — по DA, ось z  — по DD₁. Будем иметь: M(8; 4; 6), K(8; 8; 3), N(0; 8; 3). MK  =  (0; 4; −3), KN  =  (−8; 0; 0). MK · KN  =  0 · (−8) + 4 · 0 − 3 · 0 +  =  0.

Таким об­ра­зом, MK ⊥ KN. Не­труд­но по­лу­чить, что

б)  Рас­смот­рим пря­мую тре­уголь­ную приз­му MKB₁PNC₁.

Объем равен:

Ис­ко­мый же объем ΔV  =  384 − 48  =  336.

Ответ: а) 40; б) 336.

Ре­ше­ние. Огра­ни­че­ния на x:

Для таких x:

Пусть Тогда

Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной x.

По­лу­чен­ный от­ри­ца­тель­ный ко­рень не под­хо­дит. При име­ю­щих­ся огра­ни­че­ни­ях на x:

Ответ:

Ре­ше­ние. А)  Рас­смот­рим Δ APC и Δ CPB. У них: ∠P  — общий, ∠CAP = ∠BCP (как из­ме­ря­ю­щи­е­ся по­ло­ви­ной гра­дус­ной меры дуги BC). Сле­до­ва­тель­но, Δ APC ~ Δ CPB, от­ку­да или BC : AC  =  CP : AP, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Б)  По свой­ству бис­сек­три­сы внут­рен­не­го угла тре­уголь­ни­ка: По до­ка­зан­но­му выше: зна­чит,

Но по свой­ству се­ку­щей и ка­са­тель­ной, про­ве­ден­ных к окруж­но­сти из одной и той же точки имеем: Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: Б) 20.

Ре­ше­ние. Ско­рость сбли­же­ния Алек­сея и Жучки (раз­ность ско­ро­стей) Δυ = 9 км/ч. Пер­во­на­чаль­ная раз­ность рас­сто­я­ний между хо­зя­и­ном и со­ба­кой со­став­ля­ет ΔS  =  6 км. Най­дем раз­ност­ное от­но­ше­ние часа. Это и есть время, ко­то­рое по­тре­бо­ва­лось Жучке, чтобы до­гнать Алек­сея.

С того вре­ме­ни, как Жучка бе­жа­ла за хо­зя­и­ном, Алек­сей про­шел рас­сто­я­ние, рав­ное км. В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи Алек­сей про­шел еще 6 км пока Жучка была дома. Зна­чит, в на­прав­ле­нии от дома Алек­сей, бу­дучи на про­гул­ке, про­шел км. Такой же путь Алек­сей про­шел после того, как Жучка до­гна­ла его, но в об­рат­ном на­прав­ле­нии. На пре­одо­ле­ние этого пути (со ско­ро­стью 4 км/⁠ч) по­тре­бо­ва­лось часа. Итак, вся про­гул­ка Алек­сея про­дли­лась

Эта сумма будет наи­мень­шей, когда сумма двух вза­им­но об­рат­ных по­ло­жи­тель­ных вы­ра­же­ний и при­мет наи­мень­шее зна­че­ние. И эта наи­мень­шая сумма за­ве­до­мо из­вест­на, она равна 2 (клас­си­че­ское не­ра­вен­ство   — наи­мень­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при a  =  1). Сле­до­ва­тель­но, в нашем слу­чае долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство то есть = 6 км/ч. Время всей про­гул­ки Алек­сея со­став­ля­ет часа.

Ответ: 6 км/⁠ч, часа.

При­ве­дем ре­ше­ние Ан­дрея Ана­то­лье­ви­ча.

Пусть v  — ско­рость Алек­сея, и S  — рас­сто­я­ние, на ко­то­ром он на­хо­дил­ся в тот мо­мент, когда его до­гна­ла Жучка. Время дви­же­ния Алек­сея до того мо­мен­та, когда из дому вы­бе­жа­ла Жучка, равно время дви­же­ния от этого мо­мен­та до встре­чи с Жуч­кой равно время дви­же­ния до воз­вра­ще­ния домой тогда общее время со­ста­вит

С дру­гой сто­ро­ны, время дви­же­ния Жучки до встре­чи с Алек­се­ем со­ста­вит Тогда

Под­ста­вив дан­ное вы­ра­же­ние для S в пер­вое урав­не­ние, по­лу­чим

Для на­хож­де­ния ми­ни­маль­но­го вре­ме­ни ис­сле­ду­ем функ­цию f(v) на мак­си­мум и ми­ни­мум с по­мо­щью про­из­вод­ной:

Учи­ты­вая, что v > 0, най­дем, что про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в 0 при v  =  6.

При v  =  6 км/⁠ч функ­ция f(v) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние, рав­ное часа, или 4 часа 10 минут.

Ре­ше­ние. Мно­же­ство точек, где пер­вый мно­жи­тель чис­ли­те­ля равен нулю  — окруж­ность ра­ди­у­са 1 с цен­тром в точке вто­рой мно­жи­тель можно пре­об­ра­зо­вать как по­это­му для него со­от­вет­ству­ю­щее мно­же­ство точек  — окруж­ность с цен­тром в и ра­ди­у­сом Эти две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках и

Зна­чит, пер­вое урав­не­ние за­да­ет дуги этих окруж­но­стей, ле­жа­щие выше пря­мой Эта пря­мая со­дер­жит цен­тры обеих окруж­но­стей.

Вто­рое урав­не­ние си­сте­мы за­да­ет пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную пря­мой и про­хо­дя­щую через точку

Она пе­ре­се­ка­ет боль­шую окруж­ность при а ма­лень­кую  — при

В край­них точ­ках этих ин­тер­ва­лов пря­мая ка­са­ет­ся окруж­но­стей и эти точки не под­хо­дят, так как лежат на пря­мой В осталь­ных точ­ках этих ин­тер­ва­лов пря­мая пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в двух точ­ках, ровно одна из ко­то­рых выше пря­мой Сле­до­ва­тель­но, нас устра­и­ва­ют такие зна­че­ния a:

(пря­мая пе­ре­се­ка­ет боль­шую окруж­ность, но не мень­шую).

(пря­мая пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность, но не боль­шую).

(пря­мая пе­ре­се­ка­ет обе окруж­но­сти в сов­па­да­ю­щей точке ).

Ответ:

Ре­ше­ние. Упо­ря­до­чим по воз­рас­та­нию оцен­ки, вы­став­лен­ные су­дья­ми: Тогда раз­ность ито­го­вых бал­лов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния равна

а)  По­лу­ча­ем ра­вен­ство:

Пре­об­ра­зо­вы­вая его, по­лу­ча­ем, что Слева стоит чет­ное число, а слева  — не­чет­ное. Про­ти­во­ре­чие.

б)  По­лу­ча­ем ра­вен­ство:

Пре­об­ра­зо­вы­вая его, по­лу­ча­ем, что На­при­мер, го­дят­ся такие числа:

в)  Раз­ность ито­го­вых бал­лов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния равна

Пусть тогда ис­ко­мая раз­ность равна 0. Пусть тогда ис­ко­мая раз­ность не боль­ше, чем Если то ис­ко­мая раз­ность не боль­ше, чем Ясно, что это зна­че­ние до­сти­жи­мо, если оцен­ки равны 0, 1, 2, 3, 6.

Ответ: а) нет; б) да; в) 0,4.