a)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная приз­ма ABCDA₁B₁C₁D₁. На рёбрах CD, CC₁ и A₁B₁ от­ме­ти­ли точки K, L и M со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что A₁M  =  MB₁, DK  =  2KC, а четырёхуголь­ник AKLM  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

а)  До­ка­жи­те, что CL  =  2LC₁.

б)  Най­ди­те объём приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁, если AA₁  =  7.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2026 года Ан­дрей пла­ни­ру­ет от­крыть на­ко­пи­тель­ный счёт на три года. Усло­вия н этом счету та­ко­вы:

—  1 июля 2026 года Ан­дрей по­ме­ща­ет на счёт 488 000 руб­лей;

—  30 июня сумма на счёте уве­ли­чи­ва­ет­ся на 25 % по срав­не­нию с сум­мой, на­хо­дя­щей­ся на счёте 29 июня;

—  1 июля 2027, 2028, 2029 годов Ан­дрей сни­ма­ет со счёта одну и ту же фик­си­ро­ван­ную сумму;

—  1 июля 2029 года на счёте не долж­но остать­ся денег.

Най­ди­те сумму, ко­то­рую дол­жен будет сни­мать со счёта Ан­дрей каж­дый год.

Бис­сек­три­са угла A тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке K, а окруж­ность опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка ABC,  — в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник BMC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KMC, если AC  =  3, BC  =  8, AB  =  9.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 1].

На доске на­пи­са­но 20 на­ту­раль­ных чисел (не­обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых боль­ше 5, но не пре­вос­хо­дит 45. Вме­сто не­ко­то­рых чисел (воз­мож­но од­но­го) на доске на­пи­са­ли числа мень­шие пер­во­на­чаль­ных на еди­ни­цу. Числа, ко­то­рые после этого ока­за­лись рав­ны­ми 5, с доски стёрли, но на доске оста­лось хотя бы одно число.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел уве­ли­чи­лось?

б)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 32. Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел ока­зать­ся рав­ным 39?

в)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 32. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел, ко­то­рые оста­лись на доске.