Ре­ше­ние. а)  При­ме­ним ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство, раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти. Под­хо­дят числа

Ответ: а)  б) 

Ре­ше­ние. а)  Из усло­вия сле­ду­ет па­рал­лель­ность пря­мых AM и KL. Пря­мая ML пе­ре­се­ка­ет плос­кость ABCD, в ко­то­рой лежит пря­мая AK, а зна­чит, па­рал­лель­ны­ми эти пря­мые быть не могут. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AA₁M и LCK по­доб­ны по остро­му углу, от­ку­да Длина от­рез­ка KC втрое мень­ше длины ребра приз­мы, а длина от­рез­ка A₁M  — вдвое мень­ше. Зна­чит, то есть и

б)  Пусть По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ках ADK, MB₁C₁, MC₁L со­от­вет­ствен­но на­хо­дим:

Из ра­вен­ства по­лу­ча­ем урав­не­ние:

Най­дем объем приз­мы:

Ответ: б)  196.

При­ве­дем ре­ше­ние Алек­сандра Тур­ба­но­ва (Ли­пецк).

а)  Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть тогда:

Урав­не­ние плос­ко­сти AKM имеет вид Под­став­ляя ко­ор­ди­на­ты точек A, K и М, по­лу­ча­ем:

Плос­кость AKM не про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, а по­то­му Имеем:

Пусть точка L имеет ко­ор­ди­на­ты Под­ста­вим их в урав­не­ние плос­ко­сти, по­лу­чим: от­ку­да на­хо­дим: Cле­до­ва­тель­но, точка L делит ребро CC₁ в от­но­ше­нии 2 :1, счи­тая от вер­ши­ны С. Это и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  В вы­бран­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат Се­че­ние яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ци­ей, по­это­му

Из усло­вия сле­ду­ет, что тогда ис­ко­мый объем равен

Ре­ше­ние. а)  Из усло­вия Впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу, равны, по­это­му и Сле­до­ва­тель­но, в тре­уголь­ни­ке BMC углы при ос­но­ва­нии равны, по­это­му он рав­но­бед­рен­ный по при­зна­ку.

б)  От­рез­ки, на ко­то­рые бис­сек­три­са делит про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну, про­пор­ци­о­наль­ны при­ле­жа­щим сто­ро­нам:

От­сю­да По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке BAC:

Зна­чит,

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка KMC по­лу­ча­ем:

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. Пе­ре­несём вы­ра­же­ние из пра­вой части в левую и раз­ло­жим на мно­жи­те­ли, по­лу­чим:

По усло­вию Воз­мож­ны два слу­чая.

Слу­чай 1. Со­мно­жи­тель, не со­дер­жа­щий ло­га­риф­ма равен нулю, а ло­га­рифм при этом опре­делён:

Слу­чай 2. Ло­га­рифм равен нулю, а со­мно­жи­тель, не со­дер­жа­щий ло­га­риф­ма при этом опре­делён:

Мно­же­ства зна­че­ний a, най­ден­ные в пер­вом и вто­ром слу­чае не пе­ре­се­ка­ют­ся. Объ­еди­няя их, по­лу­ча­ем ответ:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, если были на­пи­са­ны 10 раз число 44 и 10 раз число 6, и каж­дое из два­дца­ти чисел умень­ши­ли на еди­ни­цу, то их сред­нее было равно 25, а после опи­сан­ных дей­ствий оно ста­нет равно 43.

б)  Пусть x  — ко­ли­че­ство стёртых чисел, а y  — ко­ли­че­ство про­чих умень­ша­е­мых чисел. Тогда пер­во­на­чаль­но сумма всех чисел была равна А в ре­зуль­та­те на доске оста­нут­ся чисел с общей сум­мой Пред­по­ло­жим, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся чисел равно 39, тогда

От­сю­да сле­ду­ет, что Но тогда что не­воз­мож­но. Зна­чит, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся чисел не может быть равно 39.

в)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­ных чисел равно 32, зна­чит, от­ку­да Тогда в силу не­ра­венств

сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел не может быть боль­ше зна­че­ния  ко­то­рое до­сти­га­ет­ся при

При­ведём при­мер, при ко­то­ром до­сти­га­ет­ся по­лу­чен­ное зна­че­ние. Пусть на доске было на­пи­са­но шесть чисел 6, три­на­дцать чисел 45 и число 19  — их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно 32. Затем все числа 6, и толь­ко их, умень­ши­ли на еди­ни­цу и стёрли. На доске оста­лись три­на­дцать чисел 45 и число 19  — их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно 

Ответ: а)  да, б)  нет, в)