Заголовок: Пробный ЕГЭ ФИПИ 2025. Вариант 1.
Комментарий:
Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
РЕШУ ЕГЭ — математика профильная
Вариант № 82158771

Пробный ЕГЭ ФИПИ 2025. Вариант 1.

1.  
i

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC с ос­но­ва­ни­ем AB внеш­ний угол при вер­ши­не B равен 124°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла A тре­уголь­ни­ка ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

2.  
i

Даны век­то­ры \veca левая круг­лая скоб­ка минус 12; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , \vecb левая круг­лая скоб­ка 4; минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка и \vec c левая круг­лая скоб­ка 0;3 пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­ди­те длину век­то­ра \vec a плюс 3\vecb плюс \vec c.

3.  
i

Куб опи­сан около сферы ра­ди­у­сом 7,5. Най­ди­те объём куба.

4.  
i

В клас­се 16 обу­ча­ю­щих­ся, среди них два друга  — Ми­ха­ил и Вадим. Уча­щих­ся слу­чай­ным об­ра­зом раз­би­ва­ют на 4 рав­ные груп­пы. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Ми­ха­ил и Вадим ока­жут­ся в одной груп­пе.

5.  
i

По­ме­ще­ние осве­ща­ет­ся фонарём с тремя лам­па­ми. Ве­ро­ят­ность пе­ре­го­ра­ния одной лампы в те­че­ние года равна 0,1. Лампы пе­ре­го­ра­ют не­за­ви­си­мо друг от друга. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в те­че­ние года хотя бы одна лампа не пе­ре­го­рит.

6.  
i

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 4x минус 58 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

7.  
i

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния дробь: чис­ли­тель: 3 синус левая круг­лая скоб­ка 45 гра­ду­сов плюс 30 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 60 гра­ду­сов минус 45 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

8.  
i

Пря­мая y = минус 4x плюс 15 яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции y=x в кубе минус 6x в квад­ра­те плюс 8x плюс 7. Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.

9.  
i

Скейт­бор­дист пры­га­ет на сто­я­щую на рель­сах плат­фор­му, со ско­ро­стью v = 3,2 м/с под ост­рым углом альфа к рель­сам. От толч­ка плат­фор­ма на­чи­на­ет ехать со ско­ро­стью u = дробь: чис­ли­тель: m, зна­ме­на­тель: m плюс M конец дроби v ко­си­нус альфа  (м/с), где m = 75 кг  — масса скейт­бор­ди­ста со скей­том, а M = 325 кг  — масса плат­фор­мы. Под каким наи­боль­шим ост­рым углом а (в гра­ду­сах) скейт­бор­ди­сту нужно прыг­нуть, чтобы разо­гнать плат­фор­му до ско­ро­сти не мень­ше 0,3 м⁠/⁠с?

10.  
i

Заказ на из­го­тов­ле­ние 140 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 4 часа быст­рее, чем вто­рой ра­бо­чий. Сколь­ко де­та­лей за час из­го­тав­ли­ва­ет пер­вый ра­бо­чий, если из­вест­но, что он за час из­го­тав­ли­ва­ет на 4 де­та­ли боль­ше, чем вто­рой?

11.  
i

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс b. Най­ди­те зна­че­ние x, при ко­то­ром f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =13.

12.  
i

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=5 ко­си­нус x минус 7x плюс 2 на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

13.  
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка 16 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

14.  
i

В пи­ра­ми­де SABC бо­ко­вые рёбра SA, SB и SC по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, а AB = BC = AC = 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

а)  До­ка­жи­те, что пи­ра­ми­да SABC пра­виль­ная.

б)  На рёбрах SA и SC от­ме­че­ны точки К и М со­от­вет­ствен­но, причём дробь: чис­ли­тель: SK, зна­ме­на­тель: KA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: SM, зна­ме­на­тель: MC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны S пи­ра­ми­ды до плос­ко­сти BKM.

15.  
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 в сте­пе­ни x минус 2 умно­жить на 2 в сте­пе­ни x плюс 1 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 32 в сте­пе­ни x минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 8 в сте­пе­ни x конец дроби .

16.  
i

По биз­нес-плану для ре­а­ли­за­ции но­во­го про­ек­та в июле 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на пять лет в раз­ме­ре 1470 тыс. руб. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  —  каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  —  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

  —  в июле 2026, 2027 и 2028 годов долг остаётся рав­ным 1470 тыс. руб.;

  —  пла­те­жи в 2029 и 2030 годах равны;

  —  к июлю 2030 года кре­дит дол­жен быть вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те общую сумму пла­те­жей за пять лет.

17.  
i

Точка О  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АВС. На луче АО за точ­кой О вы­бра­на точка Р так, что \angle BAC плюс \angle APC = 90 гра­ду­сов.

а)  До­ка­жи­те, что \angle OBC = \angle OPC.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ОРС, если BC  =  24, ко­си­нус \angle BAC = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

18.  
i

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка |x минус 6| = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 9 a пра­вая круг­лая скоб­ка имеет три раз­лич­ных корня.

19.  
i

Юра и По­ли­на иг­ра­ют в игру с чис­ла­ми. Юра при­ду­мы­ва­ет трёхзнач­ное число и на­хо­дит сумму его цифр. По­ли­на вы­чи­та­ет из при­ду­ман­но­го Юрой числа най­ден­ную сумму цифр и делит по­лу­чен­ную раз­ность на 3.

а)  Могло ли у По­ли­ны по­лу­чить­ся число 222?

6)  Могло ли у По­ли­ны по­лу­чить­ся число 212?

в)  Сколь­ко всего раз­лич­ных чисел может по­лу­чить­ся у По­ли­ны, если Юра будет при­ду­мы­вать числа от 100 до 800 вклю­чи­тель­но?