PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 25 и
Найдите AC.
Найдите квадрат длины вектора
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 35 выступлений: по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 7 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?
Игральную кость бросили два раза. Известно, что четыре очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 11».
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображены график функции 
и касательная к нему к точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции 
в точке x0.
Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле 
где 
rпок — средняя оценка магазина покупателями, rэкс — оценка магазина, данная экспертами, K — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 7, их средняя оценка равна 0,32, а оценка экспертов равна 0,12.
Две трубы наполняют бассейн за 8 часов 15 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 11 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
На рисунке изображён график функции 
Найдите 
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A1B1, B1C1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причем 
Четырехугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 3 и 4.
а) Докажите, что N — середина BC.
б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объем призмы равен 16, а ее высота равна 2.
Решите неравенство 
В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 500 тыс. руб.;
— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в 2029 году будет равен 482,3 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?
В квадрате ABCD точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CM и DN пересекаются в точке K.
а) Докажите, что 
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABK, если 
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет больше двух различных корней.
С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 180?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 134?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 300 до 700 включительно?
найдем предварительно
Тогда 
Длина вектора 
равна 
тогда квадрат длины этого вектора равен 58.
выступлений. Значит, вероятность того, что выступление представителя из России окажется запланированным на третий день конкурса, равна
часть бассейна, а вторая труба — 
части бассейна. Поэтому одна вторая труба за один час наполняет 
часть бассейна. Итак, одна вторая труба наполняет бассейн за 33 часа.
и 
Получаем систему уравнений, которую можно решить методом подстановки:
Уравнение 
не имеет решений, производная отрицательна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является убывающей. Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является 
Тогда: 
и равна 2, площади подобных треугольников MB1K и ABN относятся как квадрат коэффициента подобия, тогда:
По теореме Пифагора:
тогда получаем:
а в июле равен 
тыс. руб. Получаем:
откуда
Далее, 
поэтому прямая KB есть биссектриса внешнего угла K треугольника NKC, а потому 
откуда находим:
поэтому 
Но вписанный угол, равный 135°, опирается на дугу в 270°, а потому точки B, K, D лежат на одной окружности с центром A, и тогда 
Таким образом,
Применяя обобщенную теорему синусов к треугольнику ABK, находим радиус описанной вокруг него окружности:
уравнение 
принимает вид 
окружности с центром в точке (–8; 15) радиусом 17, лежащую в полуплоскости 
с концами в точках (0; 0) и (7; 23).
уравнение 
окружности с центром в точке (15; 8) радиусом 17, лежащую в полуплоскости 
с концами в точках (0; 0) и (7; 23). 
Дуга 
и 
в одной точке при 
и 
и не пересекается при 
и 
Дуга 
и 
в одной точке при 
и не пересекается при 
и 
При c = 0 и при c = 23 прямая a = c проходит через общую точку дуг 
и 
где a, b и c — цифры и 
Тогда сумма цифр такого числа равна 
а в результате операции из него получится число 
и 
где a, b, x и y — цифры и 
В результате операции из них получатся числа 
и 
соответственно. Разность этих чисел равна 
Если 
то эта разность не может быть равной нулю, поскольку 
Если 
то разность может быть равной нулю только при 
то есть если исходные числа совпадают. Значит, в результате операции из различных трёхзначных чисел, делящихся на 10, получаются различные числа.