Ре­ше­ние. а)  При усло­вии ис­ход­ное урав­не­ние эк­ви­ва­лент­но урав­не­нию:

Усло­вию удо­вле­тво­ря­ют серии:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. Под­хо­дят: и

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Точки A, A₁, M и N лежат в одной плос­ко­сти, со­дер­жа­щей пря­мую AA₁ На­зо­вем эту плос­кость α. Пусть K  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой AM и, сле­до­ва­тель­но, ука­зан­ной плос­ко­сти с реб­ром BC. Пря­мая KL, па­рал­лель­ная пря­мой AA₁, также лежит в плос­ко­сти α. Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с реб­ром B₁C₁, тогда N  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой KL с диа­го­на­лью CB₁. За­пи­шем тео­ре­му Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка BCD и пря­мой AK:

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков CKN и CBB₁ сле­ду­ет, что

б)  Рас­сто­я­ние от точки M до плос­ко­сти ACN равно длине вы­со­ты H_M пи­ра­ми­ды AMCN. Тре­уголь­ни­ки CNK и CBB₁ по­доб­ны, вос­поль­зу­ем­ся этим при вы­чис­ле­нии объ­е­ма пи­ра­ми­ды AMCN. На­хо­дим:

сле­до­ва­тель­но,

зна­чит, от­ку­да

Тре­уголь­ник ACB₁ рав­но­бед­рен­ный, тогда

На­хо­дим:

от­ку­да

Таким об­ра­зом, рас­сто­я­ние от точки М до плос­ко­сти ACN равно

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к ос­но­ва­нию 2, при­ведём дроби к об­ще­му зна­ме­на­те­лю, при­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции:

Сле­до­ва­тель­но, или

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть Сер­гей взял в кре­дит S руб., еже­год­ный платёж со­став­лял x руб. и пусть Со­ста­вим таб­ли­цу.

Год	Долг с про­цен­та­ми, руб.	Вы­пла­та, руб.	Долг после вы­пла­ты, руб.
1	kS	x
2		x
3		x

Под­став­ляя в по­лу­чен­ное урав­не­ние на­хо­дим:

Пе­ре­пла­та по усло­вию со­став­ля­ет 655 000 руб., зна­чит, от­ку­да

Сле­до­ва­тель­но, на при­об­ре­те­ние ма­ши­ны Сер­гею не хва­та­ло

ее сто­и­мо­сти.

Ответ: 30,5.

Ре­ше­ние. а)  Пусть O₁H₁  — пер­пен­ди­ку­ляр, про­ве­ден­ный к пря­мой AC из цен­тра боль­шей окруж­но­сти, а O₂H₂  — пер­пен­ди­ку­ляр, про­ве­ден­ный к AC из цен­тра мень­шей окруж­но­сти. Ра­ди­ус, пер­пен­ди­ку­ляр­ный хорде, делит эту хорду по­по­лам. По­это­му точка H₂  — cере­ди­на AM, а точка M сов­па­да­ет с точ­кой H₁. Тогда

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Про­ве­дем через O₂ пря­мую, па­рал­лель­ную AC. Пусть эта пря­мая пе­ре­се­ка­ет пря­мую O₁H₁ в точке F. Тогда че­ты­рех­уголь­ник H₂O₂FH₁  — пря­мо­уголь­ник со сто­ро­ной На­хо­дим:

От­сю­да

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Рас­кро­ем мо­дуль:

Гра­фик функ­ции пред­став­ля­ет собой части двух па­ра­бол с вер­ши­на­ми в точ­ках и и вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вверх и вниз. Пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная оси ор­ди­нат, может иметь одну, две или три общие точки с гра­фи­ком такой функ­ции. Если найдётся пря­мая ко­то­рая имеет три общие точки, то хотя бы одна из пря­мых или будет иметь ровно две общие точки.

Усло­вие за­да­чи будет вы­пол­не­но тогда и толь­ко тогда, когда любая го­ри­зон­таль­ная пря­мая будет иметь с гра­фи­ком функ­ции ровно одну общую точку, то есть если будет вы­пол­не­но усло­вие Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мые зна­че­ния па­ра­мет­ра за­да­ют­ся си­сте­мой не­ра­венств:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть в каж­дой ко­ман­де было n иг­ро­ков. Тогда каж­дая встре­ча ко­манд со­сто­я­ла из n пар­тий, в ко­то­рых рас­пре­де­ля­лось 2n очков (в каж­дой пар­тии в сумме про­тив­ни­ки все­гда по­лу­ча­ют два очка). По­это­му во всех пар­ти­ях вме­сте рас­пре­де­ля­лось 6n очков. Для по­бе­ды в встре­че ко­манд нужно на­брать боль­ше по­ло­ви­ны очков, то есть ми­ни­мум n + 1.

а)  Такая ко­ман­да на­бра­ла ми­ни­мум очков. Если осталь­ные на­бра­ли не мень­ше, то сумма на­бран­ных очков не мень­ше 6n + 6  — про­ти­во­ре­чие.

б)  Да. Пусть, на­при­мер, все встре­чи ко­ман­да A с про­тив­ни­ка­ми за­кон­чи­лись на всех дос­ках вни­чью, кроме по­бе­ды на одной доске, а во встре­че ко­манд B и C ко­ман­да B вы­иг­ра­ла все пар­тии. Тогда A по­бе­ди­ла во всех встре­чах и имеет 2n + 2 очка, а B имеет

при Зна­чит, вы­иг­ра­ла B.

в)  Ясно что Пер­вая ко­ман­да во встре­че со вто­рой на­бра­ла

а вто­рая на­бра­ла 7 очков. Ана­ло­гич­но пер­вая про­тив тре­тьей пер­вая на­бра­ла

а тре­тья на­бра­ла 6 очков. На­ко­нец вто­рая про­тив тре­тьей на­бра­ла

а та на­бра­ла 8 очков.

Итого пер­вая ко­ман­да имеет вто­рая и тре­тья Пер­вые два ре­зуль­та­та не­чет­ны и с тре­тьим не сов­па­да­ют. Если то n  =  6  — этот слу­чай не го­дит­ся. Ми­ни­маль­ное остав­ше­е­ся n равно 7. Для него у пер­вой ко­ман­ды 15, у вто­рой  — 13, у тре­тьей  — 14, зна­чит, пер­вая по­бе­ди­ла, а тре­тья за­ня­ла вто­рое место.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  пер­вая, тре­тья, вто­рая.