Ре­ше­ние. а)  

б)  Вы­бор­ка кор­ней. Решим двой­ные не­ра­вен­ства от­но­си­тель­но целых

При

При при

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние.

Пусть Тогда

По­сколь­ку EM и KG лежат в одной плос­ко­сти, они пе­ре­се­ка­ют­ся на пря­мой AC (пусть в точке Q). По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ABC и пря­мой KGQ имеем по­это­му

По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ADC и пря­мой EMQ имеем по­это­му Тогда имеем

Век­тор из D в точку пе­ре­се­че­ния EG и MK пред­став­ля­ет­ся в виде и в виде

При­рав­ни­вая ко­эф­фи­ци­ен­ты при рав­ных век­то­рах, на­хо­дим по­это­му этот век­тор рас­кла­ды­ва­ет­ся как

Те­перь пусть

При­рав­ни­вая ко­эф­фи­ци­ен­ты при рав­ных век­то­рах, на­хо­дим

Итак,

Зна­чит, по­это­му KLMN  — па­рал­ле­ло­грамм и

Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы.

За­ме­тим, что для всех по­сколь­ку дис­кри­ми­нан­ты квад­рат­ных трех­чле­нов (левые части не­ра­венств) от­ри­ца­тель­ны. Сле­до­ва­тель­но, Итак, ре­ше­ни­я­ми пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство Те­перь с уче­том огра­ни­че­ний на зна­че­ния из вто­ро­го не­ра­вен­ства и ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы рас­смот­рим вто­рое не­ра­вен­ство толь­ко на мно­же­стве Оче­вид­но, что на этом мно­же­стве:

Ре­ше­ния ис­ход­ной си­сте­мы есть мно­же­ство

Ответ: :

Ре­ше­ние.

а)  Обо­зна­чим бук­вой E точку пе­ре­се­че­ния от­рез­ков MK и AB. Углы ∠ALB и ∠LAD равны, как на­крест ле­жа­щие углы; ана­ло­гич­но ∠CLD = ∠ADL, как на­крест ле­жа­щие. От­сю­да по­лу­ча­ем, что ∠BAL = ∠BLA, ∠CDL = ∠CLD, то есть тре­уголь­ни­ки ABL и CLD рав­но­бед­рен­ные (AB  =  BL, CL  =  CD). Тогда бис­сек­три­сы этих тре­уголь­ни­ков BM и CK яв­ля­ют­ся также вы­со­та­ми и ме­ди­а­на­ми. Зна­чит, точки M и K яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми сто­рон AL и DL со­от­вет­ствен­но. От­сю­да сле­ду­ет, что от­ре­зок MK яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ка ALD. Зна­чит, MK || AD.

Те­перь если рас­смот­реть тре­уголь­ник ABL, по­лу­ча­ем, что от­ре­зок EM па­рал­ле­лен сто­ро­не BL и ис­хо­дит из се­ре­ди­ны сто­ро­ны AL. От­сю­да сле­ду­ет, что EM яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей этого тре­уголь­ни­ка, а зна­чит точка E  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Рас­смот­рим 4-уголь­ник MLKN. Из преды­ду­ще­го пунк­та по­лу­чи­ли, что ∠M  =  90°, ∠K  =  90°, от­ку­да сле­ду­ет, что

То есть у дан­но­го 4-уголь­ни­ка суммы про­ти­во­по­лож­ных углов дают от­ку­да сле­ду­ет, что во­круг него можно опи­сать окруж­ность. Со­еди­ним точки N и L (пе­ре­се­че­ние с MK в точке F)  — по­лу­чим 2 пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка NML и NKL. Тогда центр опи­сан­ной окруж­но­сти лежит на се­ре­ди­не общей ги­по­те­ну­зы NL.

Те­перь за­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки MFL и NFK по­доб­ны по 2 углам (∠MFL = ∠NFK, как вер­ти­каль­ные; ∠MLF = ∠NKF, как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу MN). Тогда

Ана­ло­гич­но тре­уголь­ни­ки NMF и KFL по­доб­ны по 2 углам (∠NFM = ∠KFL, как вер­ти­каль­ные; ∠MNF = ∠FKL, как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу ML). Тогда

По­де­лим со­от­но­ше­ния друг на друга:

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков NLC и NFK (по 3-м углам) по­лу­чим, что Ана­ло­гич­но из по­до­бия тре­уголь­ни­ков NLB и NFM по­лу­чим, что от­ку­да сле­ду­ет:

Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем, что

Ответ: 5 : 14.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что левая часть за­дан­но­го урав­не­ния имеет смысл толь­ко при

Пусть Тогда за­да­ча будет пе­ре­фор­му­ли­ро­ва­на так: найти все зна­че­ния а, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы одно ре­ше­ние, при­над­ле­жа­щее от­рез­ку

За­ме­тим также, что урав­не­ние (1) имеет вид: Коли это так, то за­ме­ним его более про­стым урав­не­ни­ем

до­ка­зав рав­но­силь­ность урав­не­ний (1) и (2) на и где   — мно­же­ство раз­ре­шен­ных зна­че­ний t в урав­не­нии (1),   — мно­же­ство раз­ре­шен­ных зна­че­ний t в урав­не­нии (2). .

Если урав­не­ние (2) имеет ре­ше­ние то будет вы­пол­не­но ра­вен­ство Тогда урав­не­ние (1) об­ра­тит­ся в ра­вен­ство Сле­до­ва­тель­но, любое ре­ше­ние урав­не­ния (2) также яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния (1).

Для пол­но­ты наших суж­де­ний до­ка­жем еще одно утвер­жде­ние: если не­ко­то­рое, число от­лич­ное от та­ко­во, что и не яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния (2), то оно также не будет яв­лять­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния (1).

Такое воз­мож­но лишь в двух слу­ча­ях: либо при либо при

Пусть Тогда ана­ло­гич­но, если то Зна­чит, число при кор­нем урав­не­ния (1) не яв­ля­ет­ся.

Из ска­зан­но­го сле­ду­ет, что мно­же­ство кор­ней урав­не­ний (1) и (2) пол­но­стью сов­па­да­ют, т. е. урав­не­ния (1) и (2) яв­ля­ют­ся рав­но­силь­ны­ми.

Сле­до­ва­тель­но, мы впра­ве еще раз пе­ре­фор­му­ли­ро­вать за­да­чу: най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при ко­то­рых урав­не­ние имеет хотя бы одно ре­ше­ние на про­ме­жут­ке

Рас­смот­рим сме­шан­ную си­сте­му

Ясно, что па­ра­метр а, бу­дучи не­пре­рыв­ной функ­ци­ей от t, до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния при А наи­боль­шее его зна­че­ние равно нулю. Па­ра­метр при­ни­ма­ет все зна­че­ния из про­ме­жут­ка где

За­ме­ча­ния:

1.  Здесь до­ка­за­тель­ство того, что урав­не­ния (1) и (2) рав­но­силь­ны, яв­ля­ет­ся обя­за­тель­ным, так как урав­не­ния и во­об­ще го­во­ря, не обя­за­ны быть рав­но­силь­ны­ми.

2.  По­ка­жем ска­зан­ное в п.1 за­ме­ча­ний на кон­крет­ном при­ме­ре. Пред­по­ло­жим, что про­из­ве­де­на ана­ло­гич­ная за­ме­на урав­не­ния на урав­не­ние

Числа и яв­ля­ют­ся кор­ня­ми урав­не­ния тогда как эти числа кор­ня­ми урав­не­ния не яв­ля­ют­ся. А этого до­ста­точ­но для того чтоб счи­тать на­зван­ные два урав­не­ния не­рав­но­силь­ны­ми.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Осу­ще­ствим такую це­поч­ку:

Бла­го­да­ря ре­ше­нию пунк­та а) мы умеем за не­сколь­ко шагов воз­во­дить числа в квад­рат. Зна­чит, можно по­лу­чить число: Те­перь по­лу­чим по­сле­до­ва­тель­но:

Ответ: а) да; б) да.