Ре­ше­ние. Упро­стим левую часть урав­не­ния:

Со­кра­щая на и ис­поль­зуя фор­му­лу си­ну­са двой­но­го угла, по­лу­ча­ем:

б)  Отберём корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. Под­хо­дят: 0,

Ответ: а) б) 0,

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что две па­рал­лель­ные плос­ко­сти пе­ре­се­ка­ют­ся тре­тьей плос­ко­стью по па­рал­лель­ным пря­мым, сле­до­ва­тель­но, се­че­ние  — па­рал­ле­ло­грамм. Пусть P  — точка пе­ре­се­че­ния се­че­ния с реб­ром AA₁, тогда P  — его се­ре­ди­на. Таким об­ра­зом, се­че­ние со­дер­жит пря­мую PQ, па­рал­лель­ную пря­мой AC. Зна­чит, плос­ко­сти ABC и BD₁Q пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой, па­рал­лель­ной AC.

Из точки B опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и BH₁ на AC и PQ со­от­вет­ствен­но. Пря­мые AC и PQ па­рал­лель­ны линии пе­ре­се­че­ния, по­это­му HBH₁  — ли­ней­ный угол угла между плос­ко­стя­ми BD₁Q и ABC. При этом пря­мая HH₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах.

Далее имеем: от­ку­да

б)  Тре­уголь­ник ABC яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей тре­уголь­ни­ка BPQ, сле­до­ва­тель­но,

Тогда

Ответ: б)

При­ве­дем ре­ше­ние Алек­сандра Тур­ба­но­ва (Ли­пецк).

а)  Введём пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке B. За­пи­шем не­об­хо­ди­мые ко­ор­ди­на­ты:

Со­ста­вим урав­не­ние плос­ко­сти ABC в виде

Те­перь можем за­пи­сать урав­не­ние плос­ко­сти: от­ку­да век­тор нор­ма­ли

Со­ста­вим ана­ло­гич­ным спо­со­бом урав­не­ние плос­ко­сти BD₁Q:

от­ку­да

сле­до­ва­тель­но, век­тор нор­ма­ли

Найдём угол между плос­ко­стя­ми:

от­ку­да

б)  Ко­ор­ди­на­ты точки плос­кость BD₁Q задаётся урав­не­ни­ем её век­тор нор­ма­ли Найдём рас­сто­я­ние между точ­кой A и плос­ко­стью BD₁Q:

Ре­ше­ние. Пусть тогда

Вы­де­лим из дро­бей целые части, упро­стим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние, при­ме­ни метод ин­тер­ва­лов:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть на 15‐⁠е число 20‐⁠го ме­ся­ца долг со­став­ля­ет S тыс. руб­лей, и  тыс. руб­лей. Тогда на­чаль­ная сумма кре­ди­та равна  тыс. руб­лей. За­пол­ним таб­ли­цу.

Номер ме­ся­ца	Долг на 1 число (с учётом про­цен­тов) тыс. руб.	Вы­пла­та тыс. руб.	Долг на 15 число тыс. руб.
1
2
...	...	...	...
18
19
20			S
21	kS	kS	0

Для на­хож­де­ния суммы вы­плат вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Под­ста­вим зна­че­ния k и x:

По усло­вию эта сумма равна 187,8 тыс. руб., тогда:

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. а)  По тео­ре­ме о точке пе­ре­се­че­ния ме­ди­а­ны сле­до­ва­тель­но, От­сю­да

б)  Ме­ди­а­ны раз­би­ва­ют тре­уголь­ник на шесть рав­но­ве­ли­ких тре­уголь­ни­ков, сле­до­ва­тель­но, Тогда:

Зна­чит,

Ответ: б) 51,25.

Ре­ше­ние. Раз­ло­жим под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние на мно­жи­те­ли, для этого вы­де­лим пол­ный квад­рат:

Тогда ис­ход­ное урав­не­ние за­пи­сы­ва­ет­ся в виде

Про­из­ве­де­ние мно­жи­те­лей равно нулю, если какой-то из них равен нулю, а осталь­ные при этом опре­де­ле­ны. По­лу­ча­ем:

Число при­над­ле­жит от­рез­ку и яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния при Число при­над­ле­жит от­рез­ку и яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния при Число при­над­ле­жит от­рез­ку и яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния при

Корни и сов­па­да­ют при корни и сов­па­да­ют при корни и сов­па­да­ют при Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке при или при

Ответ:

При­ме­ча­ние.

Опре­де­ле­ние нуж­ных зна­че­ний па­ра­мет­ра удоб­но про­во­дить с по­мо­щью гра­фи­ков.

Ре­ше­ние. а)  По при­зна­ку де­ли­мо­сти на 11 срав­ним суммы цифр на не­чет­ных и на чет­ных ме­стах. Оче­вид­но, вто­рая сумма со­сто­ит из тех же сла­га­е­мых, на­пи­сан­ных в об­рат­ном по­ряд­ке.

б)  При­пи­сы­ва­ние того же трех­знач­но­го числа умно­жа­ет его на 1001. Но число не может быть квад­ра­том, по­сколь­ку трех­знач­ное a не может де­лить­ся на 7, 11, 13 од­но­вре­мен­но. Без этого усло­вия 1001a будет со­дер­жать в раз­ло­же­нии на про­стые какие-то мно­жи­те­ли из на­бо­ра 7, 11, 13 в пер­вой сте­пе­ни  — про­ти­во­ре­чие.

в)  Обо­зна­чим цифры этого числа бук­ва­ми x, y, z. Тогда:

Пер­вое и вто­рое сла­га­е­мое га­ран­ти­ро­ва­но де­лят­ся на 77, по­это­му тре­тье тоже долж­но де­лить­ся, и этого до­ста­точ­но. Тогда не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы z − x де­ли­лось на 7. Зна­чит, можно на роль этих цифр взять (8, 1), (1, 8), (9, 2), (2, 9) или (7, 0), а также любую из де­вя­ти пар цифр, в ко­то­рых цифры оди­на­ко­вы (x нель­зя брать нулем как первую цифру числа). Это дает 14 ва­ри­ан­тов вы­бо­ра цифр x и z, и в каж­дом из них есть 10 ва­ри­ан­тов вы­бо­ра цифры y. Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем ва­ри­ан­тов.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  раз­ность пер­вой и тре­тьей цифр де­лит­ся на 7; 140 чисел.