Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

За­ме­тим, что и По­это­му по­след­нее ра­вен­ство может до­сти­гать­ся толь­ко в слу­чае, если а Решим си­сте­му урав­не­ний:

При­рав­ня­ем най­ден­ные зна­че­ния х, решая урав­не­ние по­лу­чим Сле­до­ва­тель­но,

б)  От­бе­рем корни, решая двой­ное не­ра­вен­ство:

Под­ста­вим най­ден­ные зна­че­ния, по­лу­чим, что на за­дан­ном про­ме­жут­ке лежат корни и

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Рас­смот­рим про­ек­цию B' вер­ши­ны тет­ра­эд­ра B на плос­кость ACD. Тет­ра­эдр пра­виль­ный, по­это­му точка B' яв­ля­ет­ся цен­тром грани ACD и лежит на ме­ди­а­не AP. Сле­до­ва­тель­но, про­ек­ция ребра AB будет от­ре­зок AB'  — часть ме­ди­а­ны AP. Точка M'  — про­ек­ция точки M  — яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка AB' и делит ме­ди­а­ну AP в от­но­ше­нии 1 к 2, счи­тая от вер­ши­ны А.

б)  Про­ек­ци­ей DM на грань ACD яв­ля­ет­ся DM', по­это­му ис­ко­мый угол равен углу MDM'. Най­дем его из тре­уголь­ни­ка MDM'. Обо­зна­чим ребро тет­ра­эд­ра 2a. Тогда

Най­дем вы­со­ту тет­ра­эд­ра:

Точка M  — се­ре­ди­на AB, по­это­му MM' равна Най­дем синус угла MDM':

сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем ло­га­рифм из чис­ли­те­ля:

Этот ло­га­рифм су­ще­ству­ет при

Учи­ты­вая огра­ни­че­ния, пре­об­ра­зу­ем ло­га­риф­мы из зна­ме­на­те­ля:

Пусть тогда:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Угол ABC равен по­ло­ви­не дуги ANC. Угол CML равен сумме углов CNK и ACN (как внеш­ний для тре­уголь­ни­ка CMN). Таким об­ра­зом, угол CML равен по­лу­сум­ме дуг KC и AN. Из усло­вия угол CML равен углу ABC. Гра­дус­ные меры дуг KC и CN равны, зна­чит, равны и впи­сан­ные углы CKN и CNK, ко­то­рые на них опи­ра­ют­ся, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник KCN рав­но­бед­рен­ный.

б)  Тре­уголь­ни­ки ABC и LMC по­доб­ны по двум углам, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен от­но­ше­нию сто­рон AB к LM, то есть равен 3. По­это­му пло­щадь тре­уголь­ни­ка LMC равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC. Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC:

Вы­со­та h тре­уголь­ни­ка ABC, про­ве­ден­ная к AB равна Зна­чит, вы­со­та CH тре­уголь­ни­ка CLM, про­ве­ден­ная к LM, равна Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти по тео­ре­ме си­ну­сов:

Таким об­ра­зом, длина от­рез­ка OH со­став­ля­ет 2. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой Пи­фа­го­ра:

Вы­чис­лим ис­ко­мую пло­щадь:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть на сер­вер № 1 будет по­сту­пать ги­га­байт ин­фор­ма­ции, на сер­вер № 2  — ги­га­байт ин­фор­ма­ции, и пусть S  — общий объём вы­хо­дя­щей ин­фор­ма­ции в ги­га­бай­тах. Тогда

Вы­ра­зим из пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы y и под­ста­вим его во вто­рое урав­не­ние. По­лу­ча­ем

где Най­дем наи­боль­шее зна­че­ние S при по­мо­щи про­из­вод­ной. По­лу­ча­ем:

Найдём кри­ти­че­ские точки:

За­ме­тим, что а зна­чит,   — точка мак­си­му­ма, и имен­но в ней до­сти­га­ет­ся наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции S(x). Вы­чис­лим его:

Ответ: 2928 Гбайт.

Ре­ше­ние. По­стро­им гра­фик функ­ции пре­об­ра­зо­ва­ни­я­ми гра­фи­ков функ­ций и За­ме­тим, что

Зна­чит, гра­фик функ­ции   — ги­пер­бо­ла, асимп­то­та­ми ко­то­рой яв­ля­ют­ся пря­мые и Ги­пер­бо­ла пе­ре­се­ка­ет ко­ор­ди­нат­ные оси в точ­ках и Она изоб­ра­же­на на ри­сун­ке спра­ва.

Гра­фик функ­ции сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но оси Oy и при сов­па­да­ет с гра­фи­ком функ­ции на ри­сун­ке ниже изоб­ражён зе­ле­ным. Гра­фик функ­ции по­лу­ча­ет­ся из гра­фи­ка функ­ции от­ра­же­ни­ем ниж­ней части гра­фи­ка от­но­си­тель­но оси Ox, на ри­сун­ке ниже изоб­ражён крас­ным.

Из по­стро­ен­но­го гра­фи­ка видно, что урав­не­ние имеет ровно че­ты­ре корня при или Таким об­ра­зом, наи­мень­шее целое зна­че­ние па­ра­мет­ра а, при ко­то­ром урав­не­ние имеет ровно че­ты­ре корня, равно 4.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. а)  Пусть все люди вы­стро­ят­ся в круг и каж­дый за­даст во­прос сле­ду­ю­ще­му за ним. Тогда каж­дый по­лу­чит ровно один во­прос, а в груп­пу А будут ото­бра­ны все 100 че­ло­век.

б)  Участ­ник не по­па­да­ет в груп­пу А, если он по­лу­чил ми­ни­мум два во­про­са. Всего было за­да­но 144 во­про­са, зна­чит, таких участ­ни­ков не более по­ло­ви­ны от 144, а остав­ша­я­ся по­ло­ви­на участ­ни­ков по­па­дет в груп­пу А. При­мер стро­ит­ся, ска­жем, так: разо­бьем всех людей на груп­пы по 4 че­ло­ве­ка. Пер­вый и вто­рой за­да­дут во­прос тре­тье­му, а тре­тий и чет­вер­тый  — вто­ро­му. Тогда из каж­дой груп­пы будут вы­бра­ны пер­вый и чет­вер­тый, всего 72 че­ло­ве­ка.

в)  Если в груп­пе есть два че­ло­ве­ка, по­лу­чив­ших по од­но­му во­про­су, то можно пе­ре­ад­ре­со­вать один из этих во­про­сов так, чтобы один из них по­лу­чил два во­про­са, а вто­рой ни од­но­го (воз­мож­но, при этом кто-то за­даст во­прос сам себе  — это не­важ­но). Таким об­ра­зом, любой при­мер, где есть боль­ше од­но­го та­ко­го че­ло­ве­ка, можно пе­ре­де­лать, умень­шив ко­ли­че­ство таких людей и не из­ме­нив число людей в груп­пе А. Будем так де­лать до тех пор, пока оста­нет­ся не более од­но­го та­ко­го че­ло­ве­ка.

Те­перь не более 97 во­про­сов рас­пре­де­ле­ны по людям так, что каж­до­му до­ста­ет­ся либо 0, либо не менее двух. Тех, кому до­ста­ет­ся не менее двух, будет не более 97 : 2  =  48,5, то есть от по­па­да­ния в груп­пу А можно спа­сти мак­си­мум 48 че­ло­век и еще того од­но­го, кому до­стал­ся один во­прос. Зна­чит, в груп­пе А не менее 97 − 48 − 1  =  48 че­ло­век.

По­стро­им при­мер. Разо­бьем всех людей на 24 груп­пы по 4 че­ло­ве­ка и по­про­сим во всех груп­пах, кроме одной, об­ме­нять­ся во­про­са­ми так же, как в пунк­те б). В по­след­нюю груп­пу до­ба­вим по­след­не­го че­ло­ве­ка, еще не рас­пре­де­лен­но­го. Пусть те­перь пер­вый и вто­рой спра­ши­ва­ют тре­тье­го, тре­тий и чет­вер­тый  — пя­то­го, а пятый  — пер­во­го. Тогда в груп­пу А из каж­дой груп­пы по­па­дут ровно двое: вто­рой и чет­вер­тый. Всего 48 че­ло­век.

Ответ: а)  100; б)  72; в)  48.

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние пунк­та в).

Если бы в груп­пе А было мень­ше 48 че­ло­век, то не менее 50-и че­ло­век не вошли бы в груп­пу. Пусть n из них по­лу­чи­ли по од­но­му во­про­су, тогда не менее n − 1 че­ло­ве­ка по­лу­чи­ли по од­но­му во­про­су и вошли в груп­пу, а остав­ши­е­ся 50 − n че­ло­век по­лу­чи­ли не менее двух во­про­сов. Тогда на тре­нинг при­шло бы не менее че­ло­век, что про­ти­во­ре­чит усло­вию. Сле­до­ва­тель­но, в груп­пе было не мень­ше 48 че­ло­век. При­мер для 48 че­ло­век можно взять из пунк­та а), когда всё стоят по кругу и каж­дый по­лу­ча­ет по 1 во­про­су: в груп­пу А по­па­да­ет целая часть числа [97/2], то есть 48.