Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние, вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой :

б)  Отберём корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). На за­дан­ном про­ме­жут­ке лежат корни:

Ответ: а) б)

При­ведём дру­гое ре­ше­ние пунк­та а):

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­ла­ми ко­си­нус суммы и ко­си­нус раз­но­сти:

Ре­ше­ние. а)  Пусть АВ  — диа­метр окруж­но­сти, MО  — вы­со­та ко­ну­са, и пусть плос­кость се­че­ния пер­пен­ди­ку­ляр­на об­ра­зу­ю­щей АМ и пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние по хорде CD. Пря­мая АМ лежит в плос­ко­сти АМВ и пер­пен­ди­ку­ляр­на хорде CD. Пря­мая MO лежит в плос­ко­сти АМВ и пер­пен­ди­ку­ляр­на хорде CD как вы­со­та ко­ну­са, сле­до­ва­тель­но, плос­кость АМВ пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой CD, а зна­чит, диа­метр АВ пер­пен­ди­ку­ля­рен хорде CD. Пусть К  — точка их пе­ре­се­че­ния. За­ме­тим, что об­ра­зу­ю­щие MA, MB, MC и MD равны угол АМВ равен 120°, от­ку­да по­лу­ча­ем, что углы МАВ и МВА равны по 30°, сле­до­ва­тель­но,

Из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра сле­ду­ет, что в пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках АМО и ВМО ка­те­ты АО и ВО равны 3, зна­чит, диа­метр АВ равен 6. Рас­смот­рим тре­уголь­ник АМК: он пря­мо­уголь­ный, по­сколь­ку пря­мые АМ и МК пер­пен­ди­ку­ляр­ны, с ост­рым углом МAК, ко­то­рый равен 30°. Таким об­ра­зом, АК  =  2МК  =  2х. Най­дем х по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для этого тре­уголь­ни­ка:

Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник MCD, по­лу­чен­ный в се­че­нии. Он рав­но­бед­рен­ный, в нем сто­ро­ны MC и MD равны а вы­со­та МК равна 2. Таким об­ра­зом,

зна­чит,

В тре­уголь­ни­ке MCD

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник MCD ту­по­уголь­ный.

б)  В плос­ко­сти МАВ из точки О опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр ОН на пря­мую МК. Пря­мая СD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти МАВ, по­это­му пря­мые ОН и СD пер­пен­ди­ку­ляр­ны и, сле­до­ва­тель­но, ОН яв­ля­ет­ся ис­ко­мым рас­сто­я­ни­ем. За­ме­тим, что АК  =  2МК  =  4, а ОК  =  АК − АО  =  1. Вы­чис­лим пло­щадь тре­уголь­ни­ка МОК двумя спо­со­ба­ми:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство, вос­поль­зо­вав­шись свой­ства­ми ло­га­риф­мов:

Вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ра­ци­о­на­ли­за­ции:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Най­дем угол АКС:

Пусть К₁  — точка на луче НМ такая, что НМ  =  MK₁, тогда че­ты­рех­уголь­ник СНАК₁  — па­рал­ле­ло­грамм, по­сколь­ку его диа­го­на­ли точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Так как СНАК₁  — па­рал­ле­ло­грамм, углы АК₁С, АНС и АКС равны. Но это не­воз­мож­но, по­сколь­ку если К₁ лежит вне окруж­но­сти и если К₁ лежит внут­ри окруж­но­сти. Зна­чит, точки К и К₁ сов­па­да­ют, от­ку­да сле­ду­ет, что НМ  =  МК.

б)  Че­ты­рех­уголь­ник АКСН  — па­рал­ле­ло­грамм. Тогда пря­мые СК и АН па­рал­лель­ны, по­это­му угол КСВ пря­мой. Углы КВС и КАС впи­са­ны в окруж­ность и опи­ра­ют­ся на одну дугу, по­это­му они равны. Пря­мые АК и СН па­рал­лель­ны, тогда зна­чит, тре­уголь­ник КСВ  — рав­но­бед­рен­ный и пря­мо­уголь­ный. От­ре­зок ВК яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти, по­это­му

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ВСК:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. 2 ян­ва­ря 2031 года банк уве­ли­чит сумму вкла­да на 5%, после чего на вкла­де ока­жет­ся 24,15 мил­ли­о­на руб­лей. Тогда 5 ян­ва­ря 2030 года сумма вкла­да со­став­ля­ла млн руб. По усло­вию, ве­ли­чи­на вкла­да на 5 ян­ва­ря была боль­ше ве­ли­чи­ны вкла­да на 5 ян­ва­ря про­шло­го года на одно и то же число и за 10 лет вы­рос­ла на 20 млн руб., зна­чит, каж­дый год ве­ли­чи­на вкла­да уве­ли­чи­ва­лась на 2 млн руб. За­пол­ним таб­ли­цу.

Год	Ве­ли­чи­на вкла­да 2 ян­ва­ря, после на­чис­ле­ния про­цен­тов, млн руб.	Ве­ли­чи­на вкла­да 5 ян­ва­ря, млн руб.
2020		3
2021		5
2022		7
2023		9
2024		11
2025		13
...	...	...
2030		23
2031

Сум­ми­руя ве­ли­чи­ны еже­год­ных на­чис­ле­ний, ука­зан­ные в пер­вом столб­це таб­ли­цы, на­хо­дим общий раз­мер на­чис­ле­ний банка:

Ответ: 7,9 млн руб.

Ре­ше­ние. Пусть За­ме­тим, что

зна­чит, Каж­до­му зна­че­нию со­от­вет­ству­ют два зна­че­ния пе­ре­мен­ной y, а зна­че­нию   — одно зна­че­ние пе­ре­мен­ной y. Си­сте­ма при­ни­ма­ет вид

Вос­поль­зу­ем­ся гра­фо­ана­ли­ти­че­ским ме­то­дом. Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы (⁎):

В плос­ко­сти xOt гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы (⁎) яв­ля­ет­ся со­во­куп­ность дуг двух окруж­но­стей: при окруж­но­сти с цен­тром в точке и ра­ди­у­сом при окруж­но­сти с цен­тром в точке и ра­ди­у­сом C учётом огра­ни­че­ния оста­ют­ся две дуги и точка (вы­де­ле­но синим). Гра­фи­ком вто­ро­го урав­не­ния си­сте­мы (⁎) яв­ля­ет­ся пря­мая по­ло­же­ние ко­то­рой за­ви­сит от па­ра­мет­ра a.

Чтобы ис­ход­ная си­сте­ма имела ровно одно ре­ше­ние, си­сте­ма (⁎) долж­на иметь одно ре­ше­ние при и при этом не иметь дру­гих ре­ше­ний. Зна­чит, пря­мая долж­на про­хо­дить через одну из точек и не пе­ре­се­кать гра­фик пер­во­го урав­не­ния в дру­гих точ­ках. Это до­сти­га­ет­ся при (вы­де­ле­но крас­ным), (вы­де­ле­но зелёным) или (вы­де­ле­но пур­пур­ным).

Ответ:

При­ве­дем ре­ше­ние Ми­ха­и­ла Гра­до­бо­е­ва.

За­ме­тим, что если пара чисел (x, y) яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы, то пара чисел (x, −y) также яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы. Сле­до­ва­тель­но, си­сте­ма имеет одно ре­ше­ние, толь­ко если y  =  0. В этом слу­чае имеем:

Ре­ше­ния пер­во­го урав­не­ния: x  =  4, x  =  −4, x  =  0.

Ре­ше­ния вто­ро­го урав­не­ния: x  =  a − 2.

Си­сте­ма имеет одно ре­ше­ние, если ре­ше­ние вто­ро­го урав­не­ния сов­па­да­ет с одним из ре­ше­ний пер­во­го урав­не­ния, то есть при a  =  6, a  =  −2, a  =  2.

Ре­ше­ние. Пусть нужно найти наи­мень­шее число с сум­мой цифр где Тогда в нем не менее цифры, по­сколь­ку сумма b цифр не пре­вос­хо­дит 9b. По­стро­им (b + 1)-⁠знач­ное число. Его пер­вая цифра не мень­ше a, по­сколь­ку иначе сумма осталь­ных b цифр боль­ше 9b. Если взять первую цифру рав­ной a, то осталь­ные при­дет­ся взять де­вят­ка­ми. Такое число по­дой­дет и оно наи­мень­шее  — оно вы­иг­ры­ва­ет у осталь­ных либо по числу цифр, либо по пер­вой цифре у тех, какие одной с ним длины. Оче­вид­но, эти числа упо­ря­до­че­ны так, что

а)  Из вы­ше­ска­зан­но­го ясно, что сумма равна 2015, по­сколь­ку за­ме­ча­тель­ные числа упо­ря­до­че­ны по воз­рас­та­нию суммы цифр.

б)  Это числа 19, 29, ..., 99. Всего 9 чисел.

в)  Ис­ко­мый номер 5 + 9 + 9 + 9  =  32.

г)  Сумма равна

Ответ: а)  2015; б)  9; в)  32; г)  53 991.