Ре­ше­ние. а)  Решим урав­не­ние:

б)  Отберём корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. За­дан­но­му усло­вию удо­вле­тво­ря­ют корни и

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что пря­мые BE и CD па­рал­лель­ны C₁D₁, сле­до­ва­тель­но, се­че­ние про­хо­дит через точку С₁. От­ре­зок CF пе­ре­се­ка­ет BE, а сле­до­ва­тель­но, и плос­кость се­че­ния в точке O  — цен­тре ос­но­ва­ния. Таким об­ра­зом, CO  =  FO. Про­ек­ции рав­ных от­рез­ков на одну плос­кость равны, сле­до­ва­тель­но, C'O  =  F'O, где C' и F'  —  про­ек­ции точек C и F на се­че­ние BED₁C₁. Тре­уголь­ни­ки CC'O и FF'O равны по ги­по­те­ну­зе и ка­те­ту. По­это­му CC'  =  FF'.

б)  За­ме­тим, что FE₁ па­рал­лель­но BC₁, сле­до­ва­тель­но, пря­мая FE₁ па­рал­лель­на се­че­нию BED₁C₁. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно рас­сто­я­нию от пря­мой FE₁ до се­че­ния BED₁C₁. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое рас­сто­я­ние, это, на­при­мер, FF'  =  CC'. Най­дем по­след­нее как вы­со­ту пи­ра­ми­ды BECC₁, опу­щен­ную из вер­ши­ны С. Объем пи­ра­ми­ды BECC₁:

от­ку­да

Из свойств пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка Оче­вид­но, что се­че­ние BED₁C₁  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция в ко­то­рой бо­ко­вая сто­ро­на а вы­со­та равна

Таким об­ра­зом,

Ответ: б)

При­ве­дем ре­ше­ние Алек­сандра Тур­ба­но­ва (Ли­пецк).

Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке B, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. В этой си­сте­ме ко­ор­ди­нат:

Най­дем урав­не­ние плос­ко­сти BED₁ в виде Плос­кость про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, а по­то­му Под­став­ляя ко­ор­ди­на­ты точек E и D₁, на­хо­дим:

от­ку­да

Най­дем рас­сто­я­ния от точек F и C до плос­ко­сти BED₁:

Таким об­ра­зом, точки F и С рав­но­уда­ле­ны от плос­ко­сти ВЕD₁.

б)  Пря­мая BC₁ па­рал­лель­на пря­мой E₁F. До­ка­жем, что точка C₁ лежит в плос­ко­сти BED₁. Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точки в урав­не­ние плос­ко­сти, по­лу­чим: Это ра­вен­ство верно, сле­до­ва­тель­но, точка C₁ дей­стви­тель­но при­над­ле­жит плос­ко­сти BED₁. Тогда и пря­мая BC₁ при­над­ле­жит плос­ко­сти BED₁, а зна­чит, плос­кость BED₁ па­рал­лель­ная пря­мой E₁F. Най­дем рас­сто­я­ние между пря­мы­ми ЕD₁ и FE₁:

Ре­ше­ние. Пусть тогда по­лу­ча­ем

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

В (⁎) мы вос­поль­зо­ва­лись тем, что сумма двух по­ло­жи­тель­ных вза­им­но об­рат­ных чисел не мень­ше двух.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что RC  =  QC как от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных к окруж­но­сти из одной точки. Сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник ORCQ яв­ля­ет­ся квад­ра­том. Пусть RC  =  QC  =  x, тогда AQ  =  AP  =  4 − x. Вы­чис­лим ги­по­те­ну­зу AB:

Таким об­ра­зом,

Тогда

б)  Вы­чис­лим S_PQR:

Ответ: б) 1,2.

Ре­ше­ние. Пусть сумма кре­ди­та будет равна 10S. В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи за­пол­ним таб­ли­цу.

Номер года	Не­по­га­шен­ная часть кре­ди­та	Вы­пла­та
		про­цен­ты	ос­нов­ная часть долга
1			S
2			S
3			S
...	...	...	...
10	S		S
Cумма:

Таким об­ра­зом, сумма вы­плат B равна

а ис­ко­мая ве­ли­чи­на равна

Зна­чит, если заёмщик не вос­поль­зу­ет­ся до­сроч­ным по­га­ше­ни­ем кре­ди­та, то сумма, ко­то­рую вы­пла­тит банку заёмщик, будет боль­ше суммы кре­ди­та в 2,045 раза.

Ответ: 2,045.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть за­ем­щик по­лу­чил кре­дит в раз­ме­ре S ед. под 19% го­до­вых. Тогда вы­пла­ты будут со­сто­ять из фик­си­ро­ван­ной суммы и 19% от не­по­га­шен­ной части кре­ди­та. По­это­му за­ем­щик вы­пла­тит банку

Зна­чит, сумма, ко­то­рую вы­пла­тит банку за­ем­щик, будет боль­ше суммы кре­ди­та в 2,045 раза.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что

Тогда по­лу­ча­ем:

Пусть тогда Для того, чтобы ис­ход­ное не­ра­вен­ство было вы­пол­не­но при любом зна­че­нии x, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы не­ра­вен­ство было вы­пол­не­но для всех Рас­смот­рим квад­ра­тич­ную функ­цию с по­ло­жи­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том, эскиз гра­фи­ка ко­то­рой при­ве­ден на ри­сун­ке. Для вы­пол­не­ния усло­вия за­да­чи не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы вы­пол­ня­лась си­сте­ма

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Если бы такое слу­чи­лось, то среди этих чисел было бы 4 не­чет­ных и 31 чет­ное. Зна­чит, их сумма была бы четна и не могла быть равна 1135.

б)  Возь­мем наи­мень­шие числа, кон­ча­ю­щи­е­ся на 7: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67. Их сумма равна 259. Возь­мем наи­мень­шие 27 чет­ных чисел: Их сумма равна В ка­че­стве по­след­не­го числа возь­мем

в)  До­пу­стим, на доске на­пи­са­ны n чисел, за­кан­чи­ва­ю­щих­ся на 7 и 35 − n чет­ных чисел. Тогда их сумма не мень­ше, чем сумма наи­мень­ших чисел с теми же свой­ства­ми. Зна­чит,

Два­жды вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой для суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, по­лу­чим:

Квад­рат­ный трех­член в левой части по­лу­чен­но­го квад­рат­но­го не­ра­вен­ства при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние при и воз­рас­та­ет при При n  =  9 левая часть равна −10, а при n  =  10 она равна 35, по­это­му Оста­лось при­ду­мать при­мер. Можно, на­при­мер, взять наи­мень­шие 9 чисел, кон­ча­ю­щих­ся на 7  — это числа 7, 27, ... 87  — и наи­мень­шие 26 чет­ных чисел от 2 до 52. Сумма таких чисел равна 1125. За­ме­нив 52 на 62, по­лу­чим тре­бу­е­мую сумму.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  9.