РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 12747721

Задания для школы экспертов. Математика. 2016 год.

а)  Решите уравнение $косинус 2x плюс синус в квадрате x=0,75.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB  =  8 и BC  =  6. Длины боковых рёбер пирамиды $SA= корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента ,SB= корень из: начало аргумента: 85 конец аргумента ,SD= корень из: начало аргумента: 57 конец аргумента .$

а)  Докажите, что SA  — высота пирамиды.

б)  Найдите угол между прямыми SC и BD.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Решите неравенство $дробь: числитель: 3 в степени x минус 1, знаменатель: 3 в степени x минус 3 конец дроби меньше или равно 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 в степени x минус 2 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

а)  Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа.

б)  Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?

в)  Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.

Решение. а)  Произведение цифр числа 2529 равно 180, а сумма цифр равна 18, то есть в 10 раз меньше.

б)  Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d  — его цифры. Заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd  =  175(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 25, поэтому среди цифр найдутся две цифры 5. Так как при перестановке местами цифр числа n равенство abcd  =  175(a + b + c + d) остаётся верным, без ограничения общности можно считать, что в числе n цифры c и d равны 5. Но тогда $ab=7 левая круглая скобка a плюс b плюс 10 правая круглая скобка больше или равно 7 умножить на 12 больше 9 умножить на 9 больше или равно ab.$ Получаем противоречие.

в)  Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d  — его цифры. Как и ранее, заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd  =  50(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 25, поэтому среди цифр найдутся две цифры 5. Без ограничения общности будем считать, что c  =  d  =  5.

Тогда ab  =  2(a + b + 10). Правая часть последнего равенства делится на 2, поэтому либо a, либо b делится на 2. Будем считать, что на 2 делится b.

Если b  =  2, то a  =  a + 12, что невозможно. Если b  =  4, то 2a  =  a + 14; a  =  14, что невозможно.

Если b  =  6, то 3a  =  a + 16; 2a  =  16; a  =  8. Число n  =  8655 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр, удовлетворяют условию задачи. Если b  =  8, то 4a  =  a + 18; 3a  =  18; a  =  6. Этот вариант также получается из предыдущего перестановкой цифр.

Ответ: а)  например, 2529; б)  нет; в)  число 8655 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр (всего 12 чисел).

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

а)  Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 14 раз больше суммы цифр этого числа.

б)  Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 210 раз больше суммы цифр этого числа?

в)  Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 49 раз больше суммы цифр этого числа.

Решение. а)  Произведение цифр числа 6723 равно 252, а сумма цифр равна 18, то есть в 14 раз меньше.

б)  Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d  — его цифры. Заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd  =  210(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 35, поэтому среди цифр найдётся цифра 5 и цифра 7. Так как при перестановке местами цифр числа n равенство abcd  =  210(a + b + c + d) остаётся верным, то без ограничения общности можно считать, что в числе n цифры c и d равны 5 и 7 соответственно. Тогда $ab=6 левая круглая скобка a плюс b плюс 12 правая круглая скобка больше или равно 6 умножить на 14 больше 9 умножить на 9 меньше или равно ab.$ Получаем противоречие.

в)  Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d  — его цифры. Как и ранее, заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd  =  49(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 49, поэтому среди цифр найдутся две цифры 7. Без ограничения общности будем считать, что c  =  d  =  7.

Тогда ab  =  a + b + 14. Пусть a и b нечётные. Так как произведение двух нечётных чисел нечётно, а их сумма чётна, получаем: правая часть равенства чётна (сумма чётных чисел чётна), а левая  — нечётна. Противоречие. Тогда хотя бы одно из чисел кратно 2. Будем считать, что на 2 делиться b.

Если b  =  2, то 2a  =  a + 16, что невозможно. Если b  =  4, то 4a  =  a + 18; a  =  6.

Если b  =  8, то 8a  =  a + 22; $a= дробь: числитель: 22, знаменатель: 7 конец дроби ,$ что невозможно. Число n  =  4677 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр, удовлетворяют условию задачи. Если b  =  6, то 6a  =  a + 20; a  =  4. Этот вариант также получается из предпоследнего перестановкой цифр.

Ответ: а) например, 6723; б) нет; в) Число 4677 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр (всего 12 чисел).

№ п/п	№ задания	Ответ
1	515919	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$
2	515920	б) $арккосинус дробь: числитель: 14, знаменатель: 55 конец дроби .$
3	515921	$левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка логарифм по основанию 3 2;1 правая круглая скобка .$
4	515922	а)  например, 2529; б)  нет; в)  число 8655 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр (всего 12 чисел).
5	515923	а) например, 6723; б) нет; в) Число 4677 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр (всего 12 чисел).

Задания для школы экспертов. Математика. 2016 год.

Ключ

Задания для школы экспертов. Математика. 2016 год.