Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и BC = 6. Длины боковых рёбер пирамиды 
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Решение.
Спрятать критерии
В треугольнике SAB имеем: 
поэтому треугольник SAB прямоугольный с гипотенузой SB и прямым углом SAB. Аналогично, из равенства 
получаем, что 
Так как прямая SA перпендикулярная прямым AB и AD, прямая SA перпендикулярна плоскости ABD.
б) На прямой AB отметим такую точку E, что BDCE — параллелограмм, тогда BE = DC = AB и DB = CE. Найдём угол SCE. По теореме Пифагора: 
и 
По теореме косинусов:
Искомый угол равен 
Ответ: б)
Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах
Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямой и плоскости, Угол между прямой и плоскостью, Четырехугольная пирамида
Вы получили отрицательное значение косинуса угла SCE. Это значит, что сам угол больше 90 градусов, то есть тупой. Почему же Вы считаете, что в ответ требуется записать смежный угол? Да, Вы записали совершенно другой угол. Правильным ответом является Пи-arccos(14/55).
Даже ради проверки можете убедиться в этом. Предположим, условно, что треугольник SCE прямоугольный, тогда SE^2=SC^2+CE^2=221. Но SE^2=277! Что это значит? Это значит, что требуется большая мера угла SCE, чем 90 градусов. Удачи!
В стереометрии величиной угла между прямыми, плоскостями или прямой и плоскостью всегда является меньшее из возможных значений. То есть угол между этими объектами не может превышать
или 
Исключение составляет двугранный угол.