РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 10854426

Задания 15 (С3) ЕГЭ 2015

1.  Тип 15 № 514254 Добавить в вариант

Источник: Задания 15 (С3) ЕГЭ 2015

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Замена переменной, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Логарифмические неравенства первой и второй степени

Решите неравенство $логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 16 плюс 6x минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 10 логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 16 плюс 6x минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 24 больше 0.$

Решение. Пусть $t= логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 16 плюс 6x минус x в квадрате правая круглая скобка ,$ тогда неравенство примет вид:

$t в квадрате минус 10t плюс 24 больше 0 равносильно левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка больше 0 равносильно совокупность выражений t меньше 4,t больше 6. конец совокупности .$

При $t меньше 4$ получим:

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 16 плюс 6x минус x в квадрате правая круглая скобка меньше 4 равносильно 0 меньше 16 плюс 6x минус x в квадрате меньше 16 равносильно$
$равносильно 0 меньше x в квадрате минус 6x меньше 16 равносильно система выражений x в квадрате минус 6x больше 0x в квадрате минус 6x минус 16 меньше 0. конец системы . равносильно совокупность выражений минус 2 меньше x меньше 0,6 меньше x меньше 8. конец совокупности .$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 16 плюс 6x минус x в квадрате правая круглая скобка меньше 4 равносильно$
$равносильно 0 меньше 16 плюс 6x минус x в квадрате меньше 16 равносильно 0 меньше x в квадрате минус 6x меньше 16 равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате минус 6x больше 0x в квадрате минус 6x минус 16 меньше 0. конец системы . равносильно совокупность выражений минус 2 меньше x меньше 0,6 меньше x меньше 8. конец совокупности .$

При $t больше 6$ получим:

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 16 плюс 6x минус x в квадрате правая круглая скобка больше 6 равносильно 16 плюс 6x минус x в квадрате больше 64 равносильно x в квадрате минус 6x плюс 48 меньше 0.$

Последнее неравенство решений не имеет.

Решение исходного неравенства: $минус 2 меньше x меньше 0,6 меньше x меньше 8.$

Ответ: $левая круглая скобка минус 2; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6; 8 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

514254

$левая круглая скобка минус 2; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6; 8 правая круглая скобка .$

Источник: Задания 15 (С3) ЕГЭ 2015

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Замена переменной, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

2.  Тип 15 № 514256 Добавить в вариант

Источник: Задания 15 (С3) ЕГЭ 2015

Классификатор алгебры: Неравенства высших степеней

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Логарифмические неравенства, разные задачи

Решите неравенство $\lg в степени 4 x минус 4\lg в кубе x плюс 5\lg в квадрате x минус 2 десятичный логарифм x\geqslant0.$

Решение. Пусть $t= десятичный логарифм x,$ тогда неравенство примет вид:

$t в степени 4 минус 4t в кубе плюс 5t в квадрате минус 2t\geqslant0 равносильно t в степени 4 минус 4t в кубе плюс 4t в квадрате плюс t в квадрате минус 2t\geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка в квадрате плюс t в квадрате минус 2t\geqslant0 равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t плюс 1 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно t левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка \geqslant0,$ $t в степени 4 минус 4t в кубе плюс 5t в квадрате минус 2t\geqslant0 равносильно t в степени 4 минус 4t в кубе плюс 4t в квадрате плюс t в квадрате минус 2t\geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка в квадрате плюс t в квадрате минус 2t\geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t плюс 1 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно t левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка \geqslant0,$ $t в степени 4 минус 4t в кубе плюс 5t в квадрате минус 2t\geqslant0 равносильно$
$равносильно t в степени 4 минус 4t в кубе плюс 4t в квадрате плюс t в квадрате минус 2t\geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка в квадрате плюс t в квадрате минус 2t\geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t плюс 1 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно t левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка \geqslant0,$

откуда $t\leqslant0,t=1,t\geqslant2.$

При $t\leqslant0$ получим: $десятичный логарифм x\leqslant0,$ откуда $0 меньше x\leqslant1.$

При $t=1$ получим: $десятичный логарифм x=1,$ откуда $x=10.$

При $t\geqslant2$ получим: $десятичный логарифм x больше или равно 2,$ откуда $x\geqslant100.$

Решение исходного неравенства: $0 меньше x\leqslant1,x=10,x больше или равно 100.$

Ответ: $левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 10 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 100; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

514256

$левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 10 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 100; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: Задания 15 (С3) ЕГЭ 2015

Классификатор алгебры: Неравенства высших степеней

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

3.  Тип 15 № 514371 Добавить в вариант

Источник: Задания 15 (С3) ЕГЭ 2015

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Неравенства. Логарифмические неравенства, разные задачи

Решите неравенство $левая круглая скобка \log в квадрате _2x минус 2 логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в квадрате меньше 11 логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 22 логарифм по основанию 2 x минус 24.$

Решение. Пусть $t= логарифм по основанию 2 x,$ тогда исходное неравенство примет вид:

$левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка в квадрате минус 11 левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка плюс 24 меньше 0.$

Пусть теперь $z=t в квадрате минус 2t,$ тогда $z в квадрате минус 11z плюс 24 меньше 0,$ откуда

$левая круглая скобка z минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка z минус 8 правая круглая скобка меньше 0.$

Вернемся к переменной t, получим целое неравенство, решим его методом интервалов:

$левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 8 правая круглая скобка меньше 0 равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка меньше 0 равносильно совокупность выражений минус 2 меньше t меньше минус 1,3 меньше t меньше 4. конец совокупности .$ $левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 8 правая круглая скобка меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка меньше 0 равносильно совокупность выражений минус 2 меньше t меньше минус 1,3 меньше t меньше 4. конец совокупности .$

Вернемся к переменной х, получим простейшие логарифмические неравенства.

Для $минус 2 меньше t меньше минус 1$ получаем $минус 2 меньше логарифм по основанию 2 x меньше минус 1,$ откуда $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Для $3 меньше t меньше 4$ получаем $3 меньше логарифм по основанию 2 x меньше 4,$ откуда $8 меньше x меньше 16.$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8;16 правая круглая скобка .$

Примечание.

Можно было бы явно решить неравенство относительно z, затем относительно t и х. Это способ показан при решении задачи 519643.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

514371

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8;16 правая круглая скобка .$

Источник: Задания 15 (С3) ЕГЭ 2015

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514254	$левая круглая скобка минус 2; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6; 8 правая круглая скобка .$
2	514256	$левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 10 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 100; плюс бесконечность правая круглая скобка .$
3	514371	$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8;16 правая круглая скобка .$

Задания 15 (С3) ЕГЭ 2015

Ключ

Задания 15 (С3) ЕГЭ 2015