PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в три раза?
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра которой равны 1.
а) Докажите, что 
б) Найдите косинус угла между прямыми AB1 и BD1.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A и B. Найдите длину отрезка AB.
В треугольнике АВС
Найдите 
Дан треугольник ABC со сторонами AB = 5, AC = 3 и BC = 4. На стороне BC взята точка D, а на отрезке AD — точка O, причем CD = 
и AO = 3OD. Окружность с центром O проходит через точку C. Найдите расстояние от точки C до точки пересечения этой окружности с прямой AB.
на плоскость основания ABC — это прямая AC. В правильном шестиугольнике диагонали AC и BE перпендикулярны. Значит, по теореме о трех перпендикулярах, 
— острый, значит, это искомый угол между прямыми AB1 и BD1.
Пусть T — точка ее пересечения с прямой CO, а 
Треугольник AOT подобен треугольнику DOC с коэффициентом 
поэтому 
Значит, треугольник AMT равен треугольнику BMC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда M — середина стороны 
Следовательно, CM — медиана треугольника 
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы, значит, 
Треугольник CDQ подобен треугольнику BDA с коэффициентом 
поэтому 
Тогда треугольники AMO и QCO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому O — середина 
Следовательно, OM — радиус этой окружности. Треугольник ABC прямоугольный, 
а точка M — одна из точек пересечения прямой AB и окружности.
то есть CN — высота треугольника 
