Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Корни, при­над­ле­жа­щие за­дан­но­му про­ме­жут­ку, от­би­ра­ем на три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). На­хо­дим:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что по­это­му вто­рой мно­жи­тель опре­де­лен при всех x. Кроме того, при он равен нулю, и вся левая часть вме­сте с ним. При про­чих x ло­га­рифм мень­ше нуля, по­это­му не­ра­вен­ство при рав­но­силь­но не­ра­вен­ству Решим его:

Объ­еди­няя рас­смот­рен­ные слу­чаи, по­лу­ча­ем ответ:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)   как на­крест ле­жа­щие. как углы рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка BMD. Зна­чит,

по­это­му все три части угла равны (при­чем, оче­вид­но, равны 30°).

б)  Ясно, что рас­сто­я­ние от A до CM ровно вдвое боль­ше, по­сколь­ку O (точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей)  — се­ре­ди­на AC. Зна­чит,

За­ме­тим, что от­ку­да Далее По­это­му

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть, банк на­чис­ля­ет r про­цен­тов, то есть умно­жа­ет оста­ток долга на Обо­зна­чим это вы­ра­же­ние за x. Тогда пер­вые три пла­те­жа со­став­ля­ли мил­ли­о­нов руб­лей.

Пусть чет­вер­тый и пятый пла­те­жи со­став­ля­ли N мил­ли­о­нов руб­лей. Тогда от­ку­да

По усло­вию Решим это урав­не­ние:

Тогда банк на­чис­лял 20% го­до­вых.

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы

Оче­вид­но, число ре­ше­ний си­сте­мы сов­па­да­ет с чис­лом кор­ней этого урав­не­ния. яв­ля­ет­ся его кор­нем. У вто­ро­го мно­жи­те­ля ко­рень ко­то­рый удо­вле­тво­ря­ет усло­вию при или

У пер­во­го мно­жи­те­ля нет кор­ней при и корни при по­ло­жи­тель­ных a. Ко­рень удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­ве­до­мо, а ко­рень   — толь­ко при

Те­перь можно изу­чать число кор­ней урав­не­ния.

При их не более двух.

При их два.

При их тоже два, по­сколь­ку (при дру­гих a этот ко­рень не сов­па­да­ет с ше­стер­кой).

При их три и они все раз­лич­ны.

При их три (по­сколь­ку При дру­гих a этот ко­рень не сов­па­да­ет с ше­стер­кой)

На­ко­нец, при их че­ты­ре, за ис­клю­че­и­ем слу­чая, когда то есть при Там три корня.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Будем по­сле­до­ва­тель­но скла­ды­вать числа, пока сумма не ста­нет боль­ше 90. Те­перь уда­лим по­след­нее до­бав­лен­ное число. По­сколь­ку оно было не боль­ше 10, сумма оста­лась боль­ше 90 − 10  =  80. Утвер­жде­ние верно.

б)  Рас­смот­рим 11 чисел, рав­ных 8,2. Их сумма равна 90,2 > 90. Если взять любые 10 из них, то сумма будет равна 82, а если взять мень­ше, чем 10 чисел, то сумма будет не боль­ше Сле­до­ва­тель­но, не из лю­бо­го на­бо­ра чисел можно вы­брать не­сколь­ко чисел, об­ла­да­ю­щих ука­зан­ны­ми свой­ства­ми.

в)  Пусть в на­бо­ре най­дут­ся 9 чисел, боль­ших 9. Тогда их сумма боль­ше 81, но не боль­ше чем 90, и они яв­ля­ют­ся ис­ко­мы­ми.

Если в на­бо­ре 8 или мень­ше чисел, боль­ших 9. Тогда их сумма мень­ше 80, и можно по­сту­пить как в пунк­те a): по­сле­до­ва­тель­но при­бав­лять к ним те, ко­то­рые мень­ше 9, пока сумма не ста­нет боль­ше 90. После чего мы можем вы­ки­нуть из суммы по­след­нее до­бав­лен­ное число. Сумма ока­жет­ся мень­ше 90, но боль­ше 81, по­сколь­ку вы­черк­ну­ли число, мень­шее 9.

Таким об­ра­зом, утвер­жде­ние верно.

Ответ: а)  да, б)  нет, в)  да.