PDF-версии: 
Окружность с центром O касается боковых сторон AB и BC равнобедренного остроугольного треугольника ABC и его высоты CH.
а) Докажите, что 
б) Найдите длину отрезка BC, BO = 1 и AC = 6.
ИЛИ
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB.
б) Найдите NO, если AB = 24 и AC = 10.
Решение.
а) Пусть 
Следовательно,
Луч CO — биссектриса угла BCH, поэтому 
откуда
Луч НО — биссектриса прямого угла BHC, отсюда 
и 
Таким образом, сумма углов AHO и ACO четырёхугольника AHOC равна 180°, а потому около него можно описать окружность. Следовательно, 
б) Около четырехугольника AHOC можно описать окружность, поэтому получаем 
Пусть точка M — середина отрезка AC, тогда отрезок OM является медианой прямоугольного треугольника AOC, проведённой к гипотенузе. Следовательно, 
Отрезок BM — медиана равнобедренного треугольника ABC, поэтому отрезок BM является его высотой и биссектрисой, то есть центр O окружности, вписанной в треугольник CBH, лежит на отрезке BM. Следовательно, 
Таким образом, по теореме Пифагора для треугольника BCM получаем:
Ответ: б) 5.
ИЛИ
а) Точка O лежит на биссектрисе угла ANB, потому что эта точка равноудалена от прямых AN и BN. Пусть прямая AB пересекает прямую NO в точке M. Отрезки AN и BN равны как отрезки касательных, проведенных из одной точки, углы ANM и BNM равны, поскольку луч NM — биссектриса угла ANB, тогда треугольники ANM и BNM равны по двум сторонам и углу между ними. Таким образом, углы AMN и BMN — равны и являются смежными, поэтому они равны 90°.
Следовательно, прямая NO перпендикулярна прямой AB. Хорда BC — диаметр окружности, поэтому угол BAC — прямой, то есть прямая AC перпендикулярна прямой AB. Отсюда следует, что прямая AC параллельна прямой NO — биссектрисе угла ANB.
б) Для прямоугольного треугольника ABC по теореме Пифагора получаем:
Треугольники ABC и MBO подобны с коэффициентом 2, тогда 
и 
Проекция катета на гипотенузу равна отношению квадрата длины этого катета к длине гипотенузе, поэтому 
откуда
Ответ: б) 33,8.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |