В правильном тетраэдре ABCD все рёбра равны 6. На рёбрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM = AK = 4.
а) Докажите, что плоскость CMK делит тетраэдр ABCD на два многогранника, объёмы которых относятся как 5 : 4.
б) Найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью CMK.
а) Плоскость CMK делит тетраэдр ABCD на четырёхугольную пирамиду CBMKD с вершиной C и треугольную пирамиду CMAK с той же вершиной. Основания этих пирамид лежат в плоскости ABD, поэтому высоты этих пирамид совпадают. Следовательно, объемы этих пирамид относятся так же, как площади их оснований — четырёхугольника BMKD и треугольника MAK. Из условия следует, что 
то есть прямые MK и BD параллельны, а треугольники MAK и BAD подобны с коэффициентом 
площади треугольника BAD, а площади трапеции BMKD и треугольника MAK относятся как 5 : 4. Таким образом, объёмы многогранников CBMKD и CMAK относятся как 5 : 4.
б) Пусть точка T — середина отрезка BD, а точка L — точка пересечения прямых AT и MK, тогда отрезки AT и CT — высоты равносторонних треугольников ABD и CBD соответственно. Следовательно, плоскость ACT перпендикулярна прямой BD, а потому и прямой MK, лежащей в плоскости CMK. Таким образом, плоскости ACT и CMK перпендикулярны, поэтому искомый угол равен углу ACL. Из треугольника ACT последовательно находим:
По теореме косинусов для треугольника ACL получаем:
Следовательно,
Ответ: 