PDF-версии: 
В правильном тетраэдре ABCD все рёбра равны 6. На рёбрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM = AK = 4.
а) Докажите, что плоскость CMK делит тетраэдр ABCD на два многогранника, объёмы которых относятся как 5 : 4.
б) Найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью CMK.
Решение. а) Плоскость CMK делит тетраэдр ABCD на четырёхугольную пирамиду CBMKD с вершиной C и треугольную пирамиду CMAK с той же вершиной. Основания этих пирамид лежат в плоскости ABD, поэтому высоты этих пирамид совпадают. Следовательно, объемы этих пирамид относятся так же, как площади их оснований — четырёхугольника BMKD и треугольника MAK. Из условия следует, что
то есть прямые MK и BD параллельны, а треугольники MAK и BAD подобны с коэффициентом 
площади треугольника BAD, а площади трапеции BMKD и треугольника MAK относятся как 5 : 4. Таким образом, объёмы многогранников CBMKD и CMAK относятся как 5 : 4.
б) Пусть точка T — середина отрезка BD, а точка L — точка пересечения прямых AT и MK, тогда отрезки AT и CT — высоты равносторонних треугольников ABD и CBD соответственно. Следовательно, плоскость ACT перпендикулярна прямой BD, а потому и прямой MK, лежащей в плоскости CMK. Таким образом, плоскости ACT и CMK перпендикулярны, поэтому искомый угол равен углу ACL. Из треугольника ACT последовательно находим:
По теореме косинусов для треугольника ACL получаем:
Следовательно,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |