Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 702516
i

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC от­рез­ки AH, BN и CK яв­ля­ют­ся вы­со­та­ми. Из­вест­но, что AK  =  2, BH  =  3, a \angle KNH = 60 гра­ду­сов.

а)  До­ка­жи­те, что \angle ABC = 60 гра­ду­сов.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Вы­ра­зим ко­си­нус угла BAC из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков ABN и ACK со­от­вет­ствен­но, по­лу­чим ко­си­нус \angle BAC = дробь: чис­ли­тель: AN, зна­ме­на­тель: AB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AK, зна­ме­на­тель: AC конец дроби . Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки ANK и ABC имеют общий угол BAC, а сто­ро­ны, при­ле­жа­щие к этому углу, про­пор­ци­о­наль­ны, то есть эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны, и тогда \angle ANK = \angle ABC. Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся по­до­бие тре­уголь­ни­ков HNC и ABC, от­ку­да \angle HNC = \angle ABC. Таким об­ра­зом,

\angle ANK плюс \angle KNH плюс \angle HNC = 180 гра­ду­сов,

от­ку­да \angle KNH = 180 гра­ду­сов минус 2 \angle ABC = 60 гра­ду­сов.

б)  В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AHB катет BH лежит про­тив угла в 30°, по­это­му AB = 2BH = 6, от­ку­да BK = 4. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BKC катет BK лежит про­тив угла в 30°, по­это­му BC= 2BK = 8. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC по­лу­ча­ем:

AC = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те плюс BC в квад­ра­те минус 2AB умно­жить на BC умно­жить на ко­си­нус \angle ABC конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 плюс 64 минус 2 умно­жить на 6 умно­жить на 8 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 52 конец ар­гу­мен­та = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та .

Най­дем ра­ди­ус опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти по тео­ре­ме си­ну­сов:

R = дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: 2 синус \angle ABC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: синус 60 гра­ду­сов конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 39 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 39 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 702497: 702516 Все

Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026