В остроугольном треугольнике ABC отрезки AH, BN и CK являются высотами. Известно, что AK = 2, BH = 3, a 
а) Докажите, что 
б) Найдите длину высоты BN.
а) Выразим косинус угла BAC из прямоугольных треугольников ABN и ACK соответственно, получим 
Следовательно, треугольники ANK и ABC имеют общий угол BAC, а стороны, прилежащие к этому углу, пропорциональны, то есть эти треугольники подобны, и тогда 
Аналогично доказывается подобие треугольников HNC и ABC, откуда 
Таким образом,
откуда 
б) В прямоугольном треугольнике AHB катет BH лежит против угла в 30°, поэтому 
откуда 
В прямоугольном треугольнике BKC катет BK лежит против угла в 30°, поэтому 
По теореме косинусов для треугольника ABC получаем:
Из доказанного подобия треугольников ANK и ABC находим:
По теореме Пифагора для треугольника ABN получаем:
Ответ: 