ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 701655 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

$x в степени 4 плюс a в квадрате x в квадрате минус 2ax в квадрате = x в квадрате плюс a в квадрате минус 2a$

имеет ровно два различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем:

$x в степени 4 плюс a в квадрате x в квадрате минус 2ax в квадрате = x в квадрате плюс a в квадрате минус 2a равносильно x в квадрате левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате минус 2a правая круглая скобка минус левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате минус 2a правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате минус 2a правая круглая скобка = 0 равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений x = 1, x = минус 1, x в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате = 1. конец совокупности .$ $x в степени 4 плюс a в квадрате x в квадрате минус 2ax в квадрате = x в квадрате плюс a в квадрате минус 2a равносильно$
$равносильно x в квадрате левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате минус 2a правая круглая скобка минус левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате минус 2a правая круглая скобка = 0 равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате минус 2a правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений x = 1, x = минус 1, x в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате = 1. конец совокупности .$ $x в степени 4 плюс a в квадрате x в квадрате минус 2ax в квадрате = x в квадрате плюс a в квадрате минус 2a равносильно$
$равносильно x в квадрате левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате минус 2a правая круглая скобка минус левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате минус 2a правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате минус 2a правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений x = 1, x = минус 1, x в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате = 1. конец совокупности .$ $x в степени 4 плюс a в квадрате x в квадрате минус 2ax в квадрате = x в квадрате плюс a в квадрате минус 2a равносильно$
$равносильно x в квадрате левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате минус 2a правая круглая скобка минус левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате минус 2a правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате минус 2a правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = 1, x = минус 1, x в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате = 1. конец совокупности .$

Следовательно, исходное уравнение в системе координат xOa задает окружность с центром в точке с координатами  $левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка$ и радиусом 1, а также две вертикальные прямые $x = минус 1$ и $x = 1,$ касающиеся окружности соответственно слева и справа. Прямые касаются окружности при $1 плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате = 1,$ откуда $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате = 0,$ то есть $a = 1.$ Изобразим полученные графики.

Из рисунка видно, что при $a меньше 0$ горизонтальная прямая пересекает две вертикальные; при $a = 0$ горизонтальная прямая пересекает две вертикальные и касается окружности; при $0 меньше a меньше 1$ горизонтальная прямая пересекает две вертикальные и окружность; при $a = 1$ горизонтальная прямая проходит через обе точки касания вертикальных прямых и окружности; при $1 меньше a меньше 2$ горизонтальная прямая пересекает две вертикальные и окружность; при $a = 2$ горизонтальная прямая пересекает две вертикальные и касается окружности; при $a больше 2$ горизонтальная прямая пересекает две вертикальные. Случаи двух решений обозначены на рисунке синим, случаи трех решений  — зеленым, случаи четырех решений  — фиолетовым.

Таким образом, уравнение имеет два решения при $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 701649: 701655 Все

Источник: ЕГЭ−2026. Основная волна 08.06.2026. Санкт-Петербург. Вариант 402 (вторая часть)

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь