PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решение. Преобразуем:
Следовательно, исходное уравнение в системе координат xOa задает окружность с центром в точке 
и 
касающиеся окружности соответственно слева и справа. Прямые касаются окружности при 
откуда 
то есть 
Изобразим полученные графики.
Из рисунка видно, что при 
горизонтальная прямая пересекает две вертикальные; при 
горизонтальная прямая пересекает две вертикальные и касается окружности; при 
горизонтальная прямая пересекает две вертикальные и окружность; при 
горизонтальная прямая проходит через обе точки касания вертикальных прямых и окружности; при 
горизонтальная прямая пересекает две вертикальные и окружность; при 
горизонтальная прямая пересекает две вертикальные и касается окружности; при 
горизонтальная прямая пересекает две вертикальные. Случаи двух решений обозначены на рисунке синим, случаи трех решений — зеленым, случаи четырех решений — фиолетовым.
Таким образом, уравнение имеет два решения при 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |