PDF-версии: 
Прямая, проходящая через вершину В, прямоугольника ABCD, перпендикулярная диагонали АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от вершин В и D.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от точки О, точки пересечения диагоналей, до отрезка СМ, если BC = 42.
Решение.
а) Углы DBC и ADB равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и BC секущей BD. Из условия следует, что 
то есть треугольник BDM — равнобедренный, а потому 
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому 
и треугольник BOC — равнобедренный, откуда 
По теореме о сумме углов треугольника находим:
Таким образом, прямой угол ABC прямыми BM и BD делятся на три равные части по 30°.
б) Точка O — середина диагонали AC, поэтому расстояние d от точки A до прямой MC вдвое больше расстояния ρ от точки O до этой прямой. Из доказанного в пункте а) следует, что 
поэтому
Таким образом, искомое расстояние ρ равно
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |