На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) отложены отрезки BP и AQ соответственно, причём BP = AQ, причем точки P и Q не являются серединами сторон AB и AC.
а) Докажите, что средняя линия треугольника ABC, параллельная его основанию BC, делит отрезок PQ пополам.
б) Найдите длину отрезка прямой PQ, заключённого внутри вписанной окружности треугольника ABC, если 
BP = 4, а периметр треугольника ABC равен 18.
а) Проведем через точку A прямую l, параллельную основанию BC. Отрезки AQ и BP равны и составляют равные углы с прямыми l и BC соответственно. Следовательно, точки Q и P равноудалены от прямых l и BC соответственно, а потому равноудалены и от прямой MN — прямой, содержащей среднюю линию треугольника ABC.
Пусть прямые PQ и MN пересекаются в точке K. Проведем высоты PH1 и QH2 соответственно на прямую MN, полученные отрезки равны. Углы PKM и QKN равны как вертикальные, поэтому прямоугольные треугольники PKH1 и QKH2 равны по катету и острому углу, откуда 
б) Пусть прямая PQ пересекает вписанную окружность в точках T и R (см. рис.). Из условия следует, что треугольник ABC — равнобедренный с углом 60°, то есть равносторонний. Следовательно,
Пусть 
Произведение длины секущей на длину ее внешней части равно квадрату длины отрезка касательной, если секущая и касательная проведены из одной точки. Отсюда получаем:
то есть 
По теореме косинусов для треугольника APQ находим:
а потому
Таким образом,
Ответ: 