Ре­ше­ние. а)  Про­ве­дем через точку A пря­мую l, па­рал­лель­ную ос­но­ва­нию BC. От­рез­ки AQ и BP равны и со­став­ля­ют рав­ные углы с пря­мы­ми l и BC со­от­вет­ствен­но. Сле­до­ва­тель­но, точки Q и P рав­но­уда­ле­ны от пря­мых l и BC со­от­вет­ствен­но, а по­то­му рав­но­уда­ле­ны и от пря­мой MN  — пря­мой, со­дер­жа­щей сред­нюю линию тре­уголь­ни­ка ABC.

Пусть пря­мые PQ и MN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Про­ве­дем вы­со­ты PH₁ и QH₂ со­от­вет­ствен­но на пря­мую MN, по­лу­чен­ные от­рез­ки равны. Углы PKM и QKN равны как вер­ти­каль­ные, по­это­му пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки PKH₁ и QKH₂ равны по ка­те­ту и остро­му углу, от­ку­да

б)  Пусть пря­мая PQ пе­ре­се­ка­ет впи­сан­ную окруж­ность в точ­ках T и R (см. рис.). Из усло­вия сле­ду­ет, что тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный с углом 60°, то есть рав­но­сто­рон­ний. Сле­до­ва­тель­но,

Пусть Про­из­ве­де­ние длины се­ку­щей на длину ее внеш­ней части равно квад­ра­ту длины от­рез­ка ка­са­тель­ной, если се­ку­щая и ка­са­тель­ная про­ве­де­ны из одной точки. От­сю­да по­лу­ча­ем:

то есть По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка APQ на­хо­дим:

а по­то­му

Таким об­ра­зом,

Ответ: б)